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主要内容

多变量微积分

Course: 多变量微积分 > 单位 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）
数学
多变量微积分
考虑多变量函数
可视化多元函数（文章）
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参数函数，单个参数

Google课堂
参数函数提供了一种用一维输入和多维输出表示函数的方法。

背景知识

你也可通过 这个视频 了解参数方程. 本文旨在描述多元函数的相同概念。

我们要做什么

  • 具有一维输入和多维输出的函数可以想像成在空间中绘制曲线。
  • 这样的函数被称为 参数 函数, 它的输入叫做 参数.
  • 在多元微积分中, 有时你需要找到一个具有特殊曲线的参数函数. 这叫做将曲线 参数化 .

可视化向量值函数

有天你在阅读数学的时候遇到这样一个函数:
f(t)=[t⋅cos⁡(2πt)t⋅sin⁡(2πt)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t \cdot \cos(2\pi t) \\ t \cdot \sin(2\pi t) \end{array} \right]
怎样将它描绘出来?
它的输入是一元变量, t, 输出是一个二维向量. 例如, 当输入 t, equals, 1, 它的值是这样的.
f(1)=[1⋅cos⁡(2π⋅1)1⋅sin⁡(2π⋅1)]=[10]\displaystyle f(1) = \left[ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos(2\pi \cdot1) \\ 1 \cdot \sin(2\pi \cdot 1) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]
此输出是一个向量, 长度为 1, 指向 x-方向.
但你怎样同时画出所有输出呢?
一个不错的方法是想像针对t的某个值域, 把向量的尖端连起来, 绘制一条曲线. 例如, 下面这个图显示当 t 在 0 到 3 的范围内取值时, f 的输出会会形成怎样一条曲线:
这叫做 参数曲线. 当你选择用这种方法解释一个函数时, 我们叫它 参数函数, 输入 t 被称作 参数.

只观察输出空间

请注意, 和图形不同, 在图形中我们试图同时描绘输入空间和输出空间; 和等高线也不同, 在等高线中我们只是画出输入空间. 用参数来解释函数让我们只观察输出空间. 上述例子有意义的原因在于 输出空间的维数比输入空间多.

输入信息不明确

只在输出空间画图的问题在于, 我们无法立刻搞清出哪个输入和哪个输出对应. 例如, 考虑这两个函数:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\begin{aligned} \blueE{f(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \\\\ \redE{g(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right] \end{aligned}
如果我们把他们绘制成参数函数, t 在 0 到 2, pi 的范围内取值, 他们都是圆心位于原点, 半径为 1 的圆.
圆形
然而, 他们是 不同的函数. 例如, t, equals, 0 时两个函数的值是不同的.
已知 f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right], start color #0c7f99, f, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #0c7f99 是多少?
选出正确答案：

已知 g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right], start color #bc2612, g, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #bc2612 是多少?
选出正确答案：

一种解决输入不明确的方法是在一些点上将输入值标示出来.
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
第一个参数化的圆
g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right]
第二个参数化的圆
或者, 你可以想像当 t 从初始值移动到终止值时, 曲线的轨迹是怎样的. 当函数用来描述一个粒子在空间中的轨道时, 这种方法特别有用.

参数化

在多元微积分中, 特别是在所谓 "线性积分" 中, 通常从一条曲线开始, 寻找这条曲线的一个参数函数. 一个常见的例子是单位圆, 意思是圆心在原点, 半径为 1 的圆.
圆形
找到描述一条曲线的参数函数叫做 参数化 那条曲线. 在上一节中, 我给出了两个不同的函数, 他们都可以参数化单位圆. 人们在实践中最常使用的是这种:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]f(t) = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
注意: 当你参数化一条曲线时, 必须不仅确定参数函数, 还要确定输入值的范围. 例如, 用函数 f, left parenthesis, t, right parenthesis 来画上面的单位圆时, 你可以令 t 在 0 到 2, pi 的范围内取值.

示例: 参数化一条连环曲线

假设你要参数化这种连环模式的曲线:
向右推进的同时画圆
要参数化一条曲线, 你始终要考虑把它画出来. 在本例中, 你可以想像某人以恒定的速度把你的手向右推的同时, 你以逆时针的方向画圆. 解决这个问题需要用到公式, 我们从圆的参数函数着手:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
这将使我们从点 left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis 开始, 逆时针方向画一个半径为 1 的圆. 由于这条连环曲线的起点位于 left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, 我们对这个函数做一个微小的调整, 将 x 值平移 minus, 3.
f(t)=[cos⁡(t)−3sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 \\ \sin(t) \end{array} \right]
随着时间的推移向右移动意味着你的手的 x-值随着时间稳定增加, 但画圆的动作与此无关. 将这一点反映到函数中, 我们在函数的x-部分加上一个常量 start color #bc2612, c, end color #bc2612 乘以 t.
f(t)=[cos⁡(t)−3+ctsin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{c}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
要想知道这个常量是什么, 我们需要知道完成一个环时向右移动了多少. 当前函数 f, left parenthesis, t, right parenthesis 完成一个环时, t 从 0 到了 2, pi. 看这个环状曲线, 看起来经过一个环我们恰巧向右平移了 1 .
完成一个环后向右移动的距离
这意味着我们必须令 2, pi, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 1, 因此 start color #bc2612, c, equals, start fraction, 1, divided by, 2, pi, end fraction, end color #bc2612.
f(t)=[cos⁡(t)−3+12πtsin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{\frac{1}{2\pi}}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
最后, 我们需要为 t 设置边界. 我们数一下这个连环曲线包含多少个环:
向右推进的同时画圆
看起来它有 6 个环. 由于t 增加到 2, pi 时, 我们设定的函数 f, left parenthesis, t, right parenthesis 完成一个环, 所以我们应该设定它的取值范围为从 0 到 6, left parenthesis, 2, pi, right parenthesis, equals, 12, pi.

总结

  • 具有一维输入和多维输出的函数可以想像成在空间中绘制曲线。
  • 这样的函数被称为 参数 函数, 它的输入叫做 参数.
  • 在多元微积分中, 有时你需要找到一个具有特殊曲线的参数函数. 这叫做将曲线 参数化 .

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