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主要内容

参数函数,单个参数

参数函数提供了一种用一维输入和多维输出表示函数的方法。

背景知识

你也可通过 这个视频 了解参数方程. 本文旨在描述多元函数的相同概念。

我们要做什么

  • 具有一维输入和多维输出的函数可以想像成在空间中绘制曲线。
  • 这样的函数被称为 参数 函数, 它的输入叫做 参数.
  • 在多元微积分中, 有时你需要找到一个具有特殊曲线的参数函数. 这叫做将曲线 参数化 .

可视化向量值函数

有天你在阅读数学的时候遇到这样一个函数:
f(t)=[tcos(2πt)tsin(2πt)]
怎样将它描绘出来?
它的输入是一元变量, t, 输出是一个二维向量. 例如, 当输入 t=1, 它的值是这样的.
f(1)=[1cos(2π1)1sin(2π1)]=[10]
此输出是一个向量, 长度为 1, 指向 x-方向.
但你怎样同时画出所有输出呢?
一个不错的方法是想像针对t的某个值域, 把向量的尖端连起来, 绘制一条曲线. 例如, 下面这个图显示当 t03 的范围内取值时, f 的输出会会形成怎样一条曲线:
这叫做 参数曲线. 当你选择用这种方法解释一个函数时, 我们叫它 参数函数, 输入 t 被称作 参数.

只观察输出空间

请注意, 和图形不同, 在图形中我们试图同时描绘输入空间和输出空间; 和等高线也不同, 在等高线中我们只是画出输入空间. 用参数来解释函数让我们只观察输出空间. 上述例子有意义的原因在于 输出空间的维数比输入空间多.

输入信息不明确

只在输出空间画图的问题在于, 我们无法立刻搞清出哪个输入和哪个输出对应. 例如, 考虑这两个函数:
f(t)=[cos(t)sin(t)]g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]
如果我们把他们绘制成参数函数, t02π 的范围内取值, 他们都是圆心位于原点, 半径为 1 的圆.
圆形
然而, 他们是 不同的函数. 例如, t=0 时两个函数的值是不同的.
已知 f(t)=[cos(t)sin(t)], f(0) 是多少?
选出正确答案:

已知 g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)], g(0) 是多少?
选出正确答案:

一种解决输入不明确的方法是在一些点上将输入值标示出来.
f(t)=[cos(t)sin(t)]
第一个参数化的圆
g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]
第二个参数化的圆
或者, 你可以想像当 t 从初始值移动到终止值时, 曲线的轨迹是怎样的. 当函数用来描述一个粒子在空间中的轨道时, 这种方法特别有用.

参数化

在多元微积分中, 特别是在所谓 "线性积分" 中, 通常从一条曲线开始, 寻找这条曲线的一个参数函数. 一个常见的例子是单位圆, 意思是圆心在原点, 半径为 1 的圆.
圆形
找到描述一条曲线的参数函数叫做 参数化 那条曲线. 在上一节中, 我给出了两个不同的函数, 他们都可以参数化单位圆. 人们在实践中最常使用的是这种:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
注意: 当你参数化一条曲线时, 必须不仅确定参数函数, 还要确定输入值的范围. 例如, 用函数 f(t) 来画上面的单位圆时, 你可以令 t02π 的范围内取值.

示例: 参数化一条连环曲线

假设你要参数化这种连环模式的曲线:
向右推进的同时画圆
要参数化一条曲线, 你始终要考虑把它画出来. 在本例中, 你可以想像某人以恒定的速度把你的手向右推的同时, 你以逆时针的方向画圆. 解决这个问题需要用到公式, 我们从圆的参数函数着手:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
这将使我们从点 (1,0) 开始, 逆时针方向画一个半径为 1 的圆. 由于这条连环曲线的起点位于 (2,0), 我们对这个函数做一个微小的调整, 将 x 值平移 3.
f(t)=[cos(t)3sin(t)]
随着时间的推移向右移动意味着你的手的 x-值随着时间稳定增加, 但画圆的动作与此无关. 将这一点反映到函数中, 我们在函数的x-部分加上一个常量 c 乘以 t.
f(t)=[cos(t)3+ctsin(t)]
要想知道这个常量是什么, 我们需要知道完成一个环时向右移动了多少. 当前函数 f(t) 完成一个环时, t0 到了 2π. 看这个环状曲线, 看起来经过一个环我们恰巧向右平移了 1 .
完成一个环后向右移动的距离
这意味着我们必须令 2πc=1, 因此 c=12π.
f(t)=[cos(t)3+12πtsin(t)]
最后, 我们需要为 t 设置边界. 我们数一下这个连环曲线包含多少个环:
向右推进的同时画圆
看起来它有 6 个环. 由于t 增加到 2π 时, 我们设定的函数 f(t) 完成一个环, 所以我们应该设定它的取值范围为从 06(2π)=12π.

总结

  • 具有一维输入和多维输出的函数可以想像成在空间中绘制曲线。
  • 这样的函数被称为 参数 函数, 它的输入叫做 参数.
  • 在多元微积分中, 有时你需要找到一个具有特殊曲线的参数函数. 这叫做将曲线 参数化 .

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