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多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）

转换

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接下来，我们将演示如何通过运动和动画来思考多元函数。

背景知识

多元函数

转换的概念

我们所有形象地表现多变量函数的方法, 目的是以某种方式了解函数的输入和输出之间的关系。

使用图示法, 就是绘制坐标包括输入和输出信息的点。
使用等高线图法这意味着标示哪些输入值将产生相同的特定输出值。
使用参数函数法, 可以标示输入信息在输出空间的位置。
使用向量场将输出绘制为尾部位于输入点的向量。

转换的意思是简单地观察 (或想象) 每个输入点移动到其相应的输出点。

如果你以前从来没有把函数看作是转换过, 所以一开始感觉很别扭, 那也算正常。

为了形象直观, 下面是源于参数曲面文章的视频, 它显示了某个函数如何将正方形转换为圆环(甜甜圈形状):

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概念解释

将函数视为转换可能非常有用, 原因有几个:

我们不受维度的限制。输入和输出都可以是一维、两维或三维, 并且将有一种方法可以具体构建函数的功能。
即使维度太大而不直观, 从转换的角度来思考, 至少原则上可以对发生的变化有一个大体的认识。例如, 我们可以知道, 从100- 维空间到20-维空间的函数正在" 扁平化 " 而减少了80个维度，也许类似于从三维空间收缩到一条线上的情形。
这一概念更容易推广到具有不同类型的输入和输出的函数, 例如复数函数, 或将球体上的点映射到 x, y-平面上的函数。
这样理解函数将更容易地看到多变量微积分和线性代数之间的联系。

尽管如此, 应该强调的是, 转换是对函数功能的理解, 而不是作为精确的描述。通过了解某给定函数的转换来就能确定它的属性是很少能做到的。

例 1: 从线到线的转换

让我们从简单开始, 分析一个单变量函数。

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3

考虑所有的输入输出的对应。

x (输入)	x, squared, minus, 3 (输出)
minus, 2	1
minus, 1	minus, 2
0	minus, 3
1	minus, 2
2	1
\varvdots, rectangle	\varvdots, rectangle

数轴上所有的输入点都滑到相应的输出点会是什么样子？如果把输入空间画在一个数轴上，把输出空间画在另一个数轴上，我们可能会看到这样的运动：

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或者, 由于在这种情况下输入空间和输出空间实际上是相同的, 即数轴, 我们可以想到将它们画在同一数轴上, 将每个点 x 拖到点 x, squared, minus, 3, 像这样:

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例 2: 从线到平面

现在, 让我们看一个具有一维输入和二维输出的函数, 如

\begin{aligned} \quad f(x) = \left( \cos(x), \dfrac{x}{2}\sin(x) \right) \end{aligned}

同样我们考虑所有的输入输出对应关系。

输入 x	输出 left parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, comma, start fraction, x, divided by, 2, end fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
0	left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis
start fraction, pi, divided by, 2, end fraction	left parenthesis, 0, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis
pi	left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesis
\varvdots, rectangle	\varvdots, rectangle

想象一下数轴上所有可能的输入转换到其相应的输出上。本例中, 由于输出有两个坐标, 它们处在x, y-平面上。

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请注意, 如果我们将 f 视为参数函数, 我们最终将在x, y-平面内得到数轴扭曲和旋转的转换图像, 而且我们实际上可以看到每个输入点在最终输出曲线上的对应位置。

让我们花点时间再仔细观察, 并跟踪一些特定的输入点，看它们如何转换到输出点。

\begin{aligned} \quad \blueE{0} &\to f(0) = (\cos(0), 0\sin(0)) = \blueE{(1, 0)} \\ \\ \greenE{\frac{\pi}{2}} &\to f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right), \frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \greenE{(0, \pi/4)}\\ \\ \redE{\pi} &\to f(\pi) = (\cos(\pi), \frac{\pi}{2}\sin(\pi)) = \redE{(-1, 0)} \\ \\ \end{aligned}

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例 3: 简单平面到平面转换

看看平面的 90, degrees 旋转(画面中的箭头只是帮助看清楚转换过程):

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这可以看成是一种形象直观的方法来了解某个具有二维输入和二维输出的函数。为什么？

该转换将二维空间中的点移动到二维空间中的其他点。例如, 原来在 left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis 的点转换到 left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis。原来在 left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis的点转换到 left parenthesis, minus, 2, comma, 1, right parenthesis 等。描述该转换的函数是

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, y, comma, x, right parenthesis

对于任何给定的点, 如 left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis, 函数 f 告诉您在逆时针旋转平面 90, degrees 后该点转到哪里 (在本例中为 left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis)。

例 4: 更复杂的平面到平面转换

现在, 让我们看一个具有二维输入和二维输出的更复杂的函数:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, comma, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis.

每个输入都是平面上的一个点, 如 left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis, 转换到平面上的另一个点, left parenthesis, 1, squared, plus, 2, squared, comma, 1, squared, minus, 2, squared, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, comma, minus, 3, right parenthesis。当我们看到平面上的每个点滑到其相应的输出点时, 就像平面在变形:

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请注意, 所有的点最终落点都是平面的右侧。这是因为输出的第一个坐标是x, squared, plus, y, squared, 它必须总是正数。

挑战问题 : 上述转换代表函数 f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, comma, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, 请注意, 所有点最终都在由直线x, equals, y 及 x, equals, minus, y所构成的V 形区域的附近。以下哪一个数字解释了这一点？

选出正确答案：
(选择 A)
x, squared, plus, y, squared, equals, x, squared, minus, y, squared 且 x, squared, plus, y, squared, equals, minus, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis
(选择 B)
vertical bar, x, squared, plus, y, squared, vertical bar, is greater than or equal to, 0
(选择 C)
x, squared, plus, y, squared, is greater than or equal to, 0 且 vertical bar, x, squared, minus, y, squared, vertical bar, is less than or equal to, vertical bar, x, squared, plus, y, squared, vertical bar

[答案]