主要内容
向量场
向量场代表流体(在许多其他事物之间)流动。 它们还提供了一种可视化函数的方法,这些函数的输入空间和输出空间的尺寸相同。
我们要做什么
- 向量场将一个向量与空间中的每个点相关联。
- 矢量场和流体流动是齐头并进的。
- 可以将向量场视为表示一个多变量函数, 其输入和输出空间各具有相同的维度。
- 在向量场中绘制的箭头长度通常不是为了缩放, 但一个矢量的长度与另一个矢量长度的比率应该是准确的。 有时矢量长度使用颜色进行通信。
练习: 使用速度矢量绘制运动
如何绘制移动的物体? 数学和物理中常见的一种方法是将描述该物体运动的 速度矢量 附加到绘图上。
- 矢量的长度 (大小) 表示速度.
- 矢量的方向指示物体的移动方式。
例如, 假设你有, 哦, 我不知道, 一只狐狸和一条鲸鱼, 每个人都向左移动。 假设狐狸在移动 (或者更确切地说, 是被拖走的, 我画它的方式) 10 米/秒, 鲸鱼移动的是 5米/秒。 您可以这样描述他们的动作:
在此示例中, 有两个重要的约定需要注意:
- 向量的描述只是告诉我们它的大小和方向( 例如,10 米/秒向左), 并不是 在哪里 绘制向量。 选择将向量的尾部附加到它所代表的运动对象上只是在按照惯例。
- 在我们的绘图中, 矢量的实际长度并不重要, 只要附着在狐狸身上的向量是附着在鲸鱼身上的向量的两倍。 你可以告诉看图片的人 "不管我刚刚画了狐狸的箭的长度, 那就是 10 米每秒应该是什么样子。
例子: 流动流体在两个维度
现在让我们把它踢出一个档次。 你有一个 流体, 它不是描述一个或两个物体的运动, 而是以某种特定的方式流动。 例如, 下面的动画通过显示几个流体粒子 (绘制为蓝点) 的运动来描述这种流体流动:
要代表 这种运动, 我们需要传达的信息远远超过一个幅度和方向。 我们需要表达流体中每一个粒子 的速度。
实际上,当涉及到绘制这个运动, 我们可以摆脱只代表粒子的样本。 例如, 如果在动画中显示的每个粒子上绘制速度矢量, 并且添加一些坐标轴以跟踪所有内容的位置, 则可能会得到如下所示的图表:
如果你让你的眼睛跟随图像中的箭头, 从一个移动到另一个, 你可以很好地感受它所代表的流体是如何流动的, 即使它是一个静态图像。 彼此靠近的粒子往往以相同的速度和方向移动。 因此, 每个箭头不仅代表它所连接的单个粒子的速度, 而且还能让人感觉到它周围粒子的邻域是如何移动的。
这样的图表被称为 向量场 。
关于人们通常绘制向量场的方式, 需要提及的一件重要事情是, 向量几乎从不被绘制为比例 。 例如, 如果单个流体粒子以 10 米/秒移动, 我们应该从技术上使连接到它的箭头10 单位, 但这可能跨越整个图像! 如果真的有长箭头附加到每个点, 以各种方式定向, 图表可能是一个真正的混乱。
因此, 通常会将每个矢量缩小, 以便它们都能清晰地适合图像。 重要的不是任何一个向量的具体长度, 而是不同向量的长度之间的比较。
图形软件表示相对长度的另一种方式是为每个矢量着色。 例如, 下图显示了使用颜色的相同向量场: 深蓝色箭头应被理解为比浅蓝色箭头 "短", 即使从技术上讲它们的长度相同。
让我们想想什么是向量场的数学。 二维空间中的每个点都与二维向量相关联。 我们可以把它看作是一个 (多变量) 向量值函数, 它的输入是二维空间中的一个点 left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, 它的输出是一个二维向量。
例如, 我用来生成上面的流体流动和向量场的函数是
由于此函数的输入和输出都有两个坐标, 因此尝试绘制图表时需要四个维度。 但只有二维绘图, 我们几乎完全代表了它! 此外, 这张图片为它所代表的旋转流体提供了比图形更好的直觉。
概念检查 : 考虑到我刚才给出的公式 f, 什么是附加到 "左" 点 (left parenthesis, pi, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis 在x, y-坐标轴里?
示例 1: 标识函数
思考这个函数:
这将二维空间中的给定点 (如 left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis) 与具有相同坐标的向量相关联。 例如, 这就是附加到 left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis 的向量将如下所示:
当您在平面上的多个点执行此操作, 并缩放所有向量, 使它们不会变得过于混乱时, 您会得到如下图像:
示例 2: 无水平元素
下一步考虑函数
输出的x0分量始终是 x, 因此我们向量场中的向量应该只指向向上或向下。
输出的第二个坐标告诉我们每个向量应该有多高。 由于这具有 y 因素, 因此当我们从 x 轴离开时, 箭头应该会变得更长, 而当我们走向它时, 箭头应该会变短 (为什么?)。 还有一个sine, left parenthesis, x, right parenthesis 因子, 因此当我们从左到右行走时, 向量的高度将上下振荡。
示例 3: 使用图形寻求帮助
实践使完美, 所以让我们再看看两个维度的向量值函数, 以及它所代表的向量场应该是什么样子的原因。 与前面的例子相比, 思考这一点更有牵连。
由于 x不会出现在输出中的任何位置, 因此当我们向左和向右平移时, 我们字段中的向量将保持不变 (为什么?)。
我们所有向量的第一个分量始终是 x, 因此所有向量都将具有相同的向右分量。 至于向量的第二个分量, 它们将等于 y, squared, minus, y, 但那是什么样子呢
我们绕点路来感觉方程 y, squared, minus, y 通过来看单量方程 g, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, y, squared, minus, y. 表达式是 y, left parenthesis, y, minus, 1, right parenthesis, 根是0 和 1. 我们也知道这个双函数是开口向上的因为第一项是正的,所以我们得到以下的图像:
此函数在范围内为正 open bracket, 0, comma, 1, close bracket, 并在其中略显负。
现在再来看看我们的向量场的函数。
当 y 介于 0 和 1 之间时, 每个向量的分量将略显负 (即它们将指向)。 随着 y 离该范围越来越远, 在平面上向上或向下, 矢量的y 分量将变得越来越积极, 因此每个矢量都会越来越指向上。 把这个画出来, 你可能会得到这样的东西:
三维向量字段
我们可以在三维空间做同样的事情,也许可以模拟气流。 与二维情况类似, 我们将三维空间中的每个点与三维向量相关联, 只绘制这些向量的样本。
下面的视频显示了这样一个三维向量场可能是什么样子, 颜色更接近红色, 表示更长的矢量, 颜色更接近蓝色, 表示更短的矢量。
这里, 我们矢量场代表了方程 3-坐标带入和3-坐标输出, 所以它的图像需要6 个维度! 这个例子的方程是
绘制三维向量场可能会很困难, 即使我们这样做了,也许有一些图形软件, 矢量也会相互阻碍, 这样就很难看到发生了什么。 因此, 这是非常有用的可视化, 作为一个松散的想法, 持有在你的头脑, 但不一定有用的精确表示。
总结
- 向量场将一个向量与空间中的每个点相关联。
- 矢量场和流体流动是齐头并进的。
- 可以将向量场视为表示一个多变量函数, 其输入和输出空间各具有相同的维度。
- 在向量场中绘制的箭头长度通常不是为了缩放, 但一个矢量的长度与另一个矢量长度的比率应该是准确的。 有时矢量长度使用颜色进行通信。