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主要内容

多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）
数学
多变量微积分
考虑多变量函数
可视化多元函数（文章）
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向量场

Google课堂
向量场代表流体（在许多其他事物之间）流动。 它们还提供了一种可视化函数的方法，这些函数的输入空间和输出空间的尺寸相同。

背景知识

: 向量符号 :
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top 是x-方向的单位向量
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top 是y-方向的单位向量
  • start bold text, k, end bold text, with, hat, on top 是 z-方向的单位向量

我们要做什么

  • 向量场将一个向量与空间中的每个点相关联。
  • 矢量场和流体流动是齐头并进的。
  • 可以将向量场视为表示一个多变量函数, 其输入和输出空间各具有相同的维度。
  • 在向量场中绘制的箭头长度通常不是为了缩放, 但一个矢量的长度与另一个矢量长度的比率应该是准确的。 有时矢量长度使用颜色进行通信。

练习: 使用速度矢量绘制运动

如何绘制移动的物体？ 数学和物理中常见的一种方法是将描述该物体运动的 速度矢量 附加到绘图上。
  • 矢量的长度 (大小) 表示速度.
  • 矢量的方向指示物体的移动方式。
例如, 假设你有, 哦, 我不知道, 一只狐狸和一条鲸鱼, 每个人都向左移动。 假设狐狸在移动 (或者更确切地说, 是被拖走的, 我画它的方式) 10 米/秒, 鲸鱼移动的是 5米/秒。 您可以这样描述他们的动作:
在此示例中, 有两个重要的约定需要注意:
  1. 向量的描述只是告诉我们它的大小和方向（ 例如，10 米/秒向左）， 并不是 在哪里 绘制向量。 选择将向量的尾部附加到它所代表的运动对象上只是在按照惯例。
  2. 在我们的绘图中, 矢量的实际长度并不重要, 只要附着在狐狸身上的向量是附着在鲸鱼身上的向量的两倍。 你可以告诉看图片的人 "不管我刚刚画了狐狸的箭的长度, 那就是 10 米每秒应该是什么样子。

例子: 流动流体在两个维度

现在让我们把它踢出一个档次。 你有一个 流体, 它不是描述一个或两个物体的运动, 而是以某种特定的方式流动。 例如, 下面的动画通过显示几个流体粒子 (绘制为蓝点) 的运动来描述这种流体流动:
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要代表 这种运动, 我们需要传达的信息远远超过一个幅度和方向。 我们需要表达流体中每一个粒子 的速度。
实际上，当涉及到绘制这个运动, 我们可以摆脱只代表粒子的样本。 例如, 如果在动画中显示的每个粒子上绘制速度矢量, 并且添加一些坐标轴以跟踪所有内容的位置, 则可能会得到如下所示的图表:
如果你让你的眼睛跟随图像中的箭头, 从一个移动到另一个, 你可以很好地感受它所代表的流体是如何流动的, 即使它是一个静态图像。 彼此靠近的粒子往往以相同的速度和方向移动。 因此, 每个箭头不仅代表它所连接的单个粒子的速度, 而且还能让人感觉到它周围粒子的邻域是如何移动的。
这样的图表被称为 向量场 。
关于人们通常绘制向量场的方式, 需要提及的一件重要事情是, 向量几乎从不被绘制为比例 。 例如, 如果单个流体粒子以 10 米/秒移动, 我们应该从技术上使连接到它的箭头10 单位, 但这可能跨越整个图像! 如果真的有长箭头附加到每个点, 以各种方式定向, 图表可能是一个真正的混乱。
因此, 通常会将每个矢量缩小, 以便它们都能清晰地适合图像。 重要的不是任何一个向量的具体长度, 而是不同向量的长度之间的比较。
图形软件表示相对长度的另一种方式是为每个矢量着色。 例如, 下图显示了使用颜色的相同向量场: 深蓝色箭头应被理解为比浅蓝色箭头 "短", 即使从技术上讲它们的长度相同。
让我们想想什么是向量场的数学。 二维空间中的每个点都与二维向量相关联。 我们可以把它看作是一个 (多变量) 向量值函数, 它的输入是二维空间中的一个点 left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, 它的输出是一个二维向量。
例如, 我用来生成上面的流体流动和向量场的函数是
f(x,y)=[sin⁡(x)+sin⁡(y)sin⁡(x)−sin⁡(y)]=(sin⁡(x)+sin⁡(y))i^+(sin⁡(x)−sin⁡(y))j^\begin{aligned} \quad f(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} \sin(x)+\sin(y) \\ \sin(x)-\sin(y) \end{array} \right]\\ \\ &= (\sin(x)+\sin(y))\hat{\textbf{i}} + (\sin(x)-\sin(y))\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
由于此函数的输入和输出都有两个坐标, 因此尝试绘制图表时需要四个维度。 但只有二维绘图, 我们几乎完全代表了它! 此外, 这张图片为它所代表的旋转流体提供了比图形更好的直觉。
概念检查 : 考虑到我刚才给出的公式 f, 什么是附加到 "左" 点 (left parenthesis, pi, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis 在x, y-坐标轴里?
x-分量为
(你还可以把它想成 start bold text, i, end bold text, with, hat, on top 分量)

y-分量为
(你还可以把它想成 start bold text, j, end bold text, with, hat, on top 分量)

因此, 此向量点

示例 1: 标识函数

思考这个函数：
f(x,y)=[xy]\begin{aligned} \quad f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right] \end{aligned}
这将二维空间中的给定点 (如 left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis) 与具有相同坐标的向量相关联。 例如, 这就是附加到 left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis 的向量将如下所示:
当您在平面上的多个点执行此操作, 并缩放所有向量, 使它们不会变得过于混乱时, 您会得到如下图像:
向量场 f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis

示例 2: 无水平元素

下一步考虑函数
f(x,y)=[0ysin⁡(x)]\begin{aligned} \quad f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 0\\ y\sin(x) \end{array} \right] \end{aligned}
输出的x0分量始终是 x, 因此我们向量场中的向量应该只指向向上或向下。
输出的第二个坐标告诉我们每个向量应该有多高。 由于这具有 y 因素, 因此当我们从 x 轴离开时, 箭头应该会变得更长, 而当我们走向它时, 箭头应该会变短 (为什么？)。 还有一个sine, left parenthesis, x, right parenthesis 因子, 因此当我们从左到右行走时, 向量的高度将上下振荡。
向量场 f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, y, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

示例 3: 使用图形寻求帮助

实践使完美, 所以让我们再看看两个维度的向量值函数, 以及它所代表的向量场应该是什么样子的原因。 与前面的例子相比, 思考这一点更有牵连。
f(x,y)=[1y2−y]\begin{aligned} \quad f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 1\\ y^2-y \end{array} \right] \end{aligned}
由于 x不会出现在输出中的任何位置, 因此当我们向左和向右平移时, 我们字段中的向量将保持不变 (为什么？)。
我们所有向量的第一个分量始终是 x, 因此所有向量都将具有相同的向右分量。 至于向量的第二个分量, 它们将等于 y, squared, minus, y, 但那是什么样子呢
我们绕点路来感觉方程 y, squared, minus, y 通过来看单量方程 g, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, y, squared, minus, y. 表达式是 y, left parenthesis, y, minus, 1, right parenthesis, 根是0 和 1. 我们也知道这个双函数是开口向上的因为第一项是正的,所以我们得到以下的图像:
g, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, y, squared, minus, y 的图形
此函数在范围内为正 open bracket, 0, comma, 1, close bracket, 并在其中略显负。
现在再来看看我们的向量场的函数。
f(x,y)=[1y2−y]\begin{aligned} f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 1\\ y^2-y \end{array} \right] \end{aligned}
当 y 介于 0 和 1 之间时, 每个向量的分量将略显负 (即它们将指向)。 随着 y 离该范围越来越远, 在平面上向上或向下, 矢量的y 分量将变得越来越积极, 因此每个矢量都会越来越指向上。 把这个画出来, 你可能会得到这样的东西:
向量场 f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, y, squared, minus, y, right parenthesis

三维向量字段

我们可以在三维空间做同样的事情，也许可以模拟气流。 与二维情况类似, 我们将三维空间中的每个点与三维向量相关联, 只绘制这些向量的样本。
下面的视频显示了这样一个三维向量场可能是什么样子, 颜色更接近红色, 表示更长的矢量, 颜色更接近蓝色, 表示更短的矢量。
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这里, 我们矢量场代表了方程 3-坐标带入和3-坐标输出, 所以它的图像需要6 个维度! 这个例子的方程是
f(x,y,z)=[y+zx+zx+y]\begin{aligned} \quad f(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} y+z\\ x+z\\ x+y \end{array} \right] \end{aligned}
绘制三维向量场可能会很困难, 即使我们这样做了，也许有一些图形软件, 矢量也会相互阻碍, 这样就很难看到发生了什么。 因此, 这是非常有用的可视化, 作为一个松散的想法, 持有在你的头脑, 但不一定有用的精确表示。

总结

  • 向量场将一个向量与空间中的每个点相关联。
  • 矢量场和流体流动是齐头并进的。
  • 可以将向量场视为表示一个多变量函数, 其输入和输出空间各具有相同的维度。
  • 在向量场中绘制的箭头长度通常不是为了缩放, 但一个矢量的长度与另一个矢量长度的比率应该是准确的。 有时矢量长度使用颜色进行通信。

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