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主要内容

减少对图形的依赖

尽管图形是考虑单元函数的好方法,但它们不总是适用于多元函数。

绘制图形并不是唯一的方法

如果给你一个一元函数, 比如下面这个函数, 人们通常都会用图形将其可视化.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, squared, plus, 2, x, plus, 3
但是, 请记住 图形与函数 不是一回事. 这似乎很明显, 但图形对于表示一元函数是如此有用, 以至于人们在转向多元函数时, 往往仍然紧抓住图形的想法不放。
例如, 你还记得导数吗? 你可能已经学过它的定义, 是这样的:
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h导数的正式定义.\begin{aligned} \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{导数的正式定义.}}} \end{aligned}
不过,老实说,你在做练习、学习如何计算导数和解释导数的意义时, 会经常考虑极限吗?
将导数视为图形 f 的斜率要简单得多. 而且这一点儿错都没有! 至少, 对于一元微积分来说没错.
f minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, squared, plus, 2, x, plus, 3 的图形
在多元微积分中, 我们并不总是绘制函数图形, 使其可视化. 因此, 当我们延伸导数的概念时, 不能总是把它想成斜率. 但这并不意味着我们不能将其可视化! 只不过这种可视化有时可能会有些不同.
并且, 与此相似, 将积分的概念理解成曲线下的面积非常有用, 以至于学生们不会想到其他方面. 为什么要想其他的方面?毕竟没坏的东西不用修, 对吧?
掌握多元积分需要灵活思考不同的函数—虽然同样是可视化, 但方式不同. 它还需要用新的方式来思考基础的概念, 比如导数和积分.
例如, 导数的基本概念是当输入有一个微小的变化时, 函数的输出如何变化. 如果一个函数的输出是多维的, 用 "斜率" 解释导数是讲不通的. 你也许需要形象地考虑输入的微小改变如何影响输出的每个坐标.
同样, 积分的基本概念是将很多微小的值相加—无穷多无限小的值—但这并不总是指向面积. 在物理上, 比较常见的积分应用是计算某些力在一个物体上所做的 "功", 但是, 我们并不总能找到一种清晰的方式将 "功" 视为某种类型的面积.

五种不同的可视化

在接下来的几篇文章中, 我们将介绍五种不同的将多元函数可视化的方法. 在这里, 我们浅尝辄止.
在下面的每个描述中, " 输入空间 " 和 " 输出空间 " 是指函数的输入和输出所存在的地方. 例如, 如果一个函数的输入是一个有序数对 left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, 比如 left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis, 输出是一个单个的数, 比如 5, 则输入空间是 x, y-平面, 输出空间是实数轴.
  • 图形, 这是我们熟知的方式. 图形的优点是同时显示输入空间和输出空间, 但他们高度受限于维度. 因此, 他们仅对一元函数和具有二维输入和一维输出的多元函数有用.
  • 等高线. 等高线仅显示输入空间, 对具有二维输入和一维输出的函数有用.
  • 参数曲线/面. 参数曲线和面仅显示输出空间, 对输出维度多于输入维度的函数有用.
  • 向量场. 向量场应用于那些输入空间和输出空间维度数相同的函数. 例如, 具有二维输入和二维输出的函数, 或具有三维输入和三维输出的函数.
  • 变形转换. 这种方法的优点是可用于任何函数, 不用考虑输入空间和输出空间的维度. 然而, 缺点是仅可用动画或概念图表示函数. 因此, 这种方法对获得函数的概念性理解最有用, 但不能精确地表示函数.
对于我们学习的每个新主题和定义, 有一个好方法可以测试你对新知识的理解, 那就是当你用各种不同的可视化方法来表示函数时, 看看这种表示是否解释得通. 例如, 导数可以表示图形的斜率, 但多元函数导数在参数函数, 向量场和等高线图中可能意味着完全不同的东西。