主要内容
负指数幂直觉
直觉上为什么 a^-b = 1/(a^b) (以及为什么 a^0 =1). 由 Sal Khan 创建
视频字幕
有学生问我怎么来直观理解 为什么a的负b次方等于a的b次方分之一 之前我给过我自己的直觉理解 就把它看作是一个定义 我也不知道 数学的发明不只是一个人的发明 而是一系列被定义了的公理 这些公理是这样定义的，而且是有理由这样来定义 我现在就来解释给您们 我下面来解释的只是其中一个原因 您会看到这是一个很好的定义，因为 您一旦明白了这个指数规则，所有其他的指数规则 比如负指数或者指数为0 都是完全遵循一样的规则 我们先来看指数为正数的情况 它们非常直观 这里分别有a的一次方，2次方 3次方，4次方 a的1次方为a 那a的2次方呢，我们要怎么算 我们就乘以a,是吧 a的平方就是a乘以a 那么3次方呢，我们怎么算 就再乘以a 那么4次方呢，我们怎么算 就再来乘以a 从另一个角度看，您可以想象 当指数变小，我们怎么做 我们来乘以1/a,即除以a 同理，当指数再次减小时，您再除以a 指数从2变为1 您除以a 同样的运用这个道理 我们可以算出a的0次方 这是第一个难题 a的0次方 您现在是发明家，去寻找数学的起源 您需要来定义a的0次方等于多少 或许等于17，或许等于pi 我不知道 现在由您来决定a的0次方等于多少 如果我们遵循刚才的思路，我想这并不难 每次当指数递减的时候 就除以a 所以当指数从1递减到0 我们就除以a不就行了吗 我们就这么做 所以当我们从a的1次方也就是a 再除以a a除以a 等于1 这就是一个定义 也就是其中的一个直觉理解 为什么任何数的0次方等于1 因为任何数再除以自己 其结果都是1 这个看起来挺合理的 现在我们来看指数是负数的情况 a的负1次方等于多少 我们就再来用刚才的模式来做 指数每递减一次 我们就除以a 我们就再来除以a,结果为1/a 所以我们是从a的0次方开始，然后再除以a a的0次方是1，1除以a 就是1/a 我们再往下做一次 您就会得出规则 您或许已经得到规则了 a的负2次方是多少 如果我们现在不遵循之前的算法 而想去改变就太傻了 指数每递减一次，我们就除以a 所以从a的负1次方变为a的负2次方 就再次除以a 结果是多少 如果您用1/a除以a, 结果为1除以a的平方 您可以一直按照这个规则做下去 您就会得到a的负b次方等于 1除以a的b次方 我希望您已经有了一点直观的认识 首先，关于数学中很神奇的是 为什么任何数的0次方等于1 首先，您要知道这是一个定义 有人已经定义为任何数的0次方必须等于1 但是这个定义是有理由的 这个理由就是他们要让这个 规则继续下去 所以有了同样的理由 他们定义了负指数的运算规则 其中最有意义的是 它不仅只是沿用这个规则 当指数递减的时候，是除以a，当指数增加的时候 是乘以a，当您今后看到指数规则的其他视频的时候 所有的指数运算遵循这个规则 所有的指数规则都遵循这个定义 任何数的0次方以及任何数的 负数次方等于多少 希望这个视频没有让您疑惑，而是 给了您直观的认识和清楚的认识到这个定义 说实话，当您第一次学习指数规则的时候的确会感到它的神秘性