因数和倍数

可以把一个数整除的数称为这个数的因数。 也就是说,在整数除法中, 如果商是整数而没有余数。 那么除数和商是被除数的因数。

因数提供了一种将数字分解的方法. 我们可以把点分成大小相等的组来帮助我们画出12的因数.

$12$12 个点可以排成 $\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 行, 一行$\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1个点.
$\tealC{1 \times 12} = 12$start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12

$12$12个点也可以排成 $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff 行, 每行 $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff 个点.
$\purpleC{2 \times 6} = 12$start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12

或者$12$12 个点可以排成$\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d 行, 每行$\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d 个点.
$\redC{3 \times 4} = 12$start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12

一旦我们知道 $12$12 个点所有可能的分组, 通过行数和每一行点的个数就可以找到 $12$12的因数.

$\tealC{1}$start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, $\tealC{12}$start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, $\purpleC{2}$start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, $\purpleC{6}$start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, $\redC{3}$start color #f9685d, 3, end color #f9685d, 和 $\redC{4}$start color #f9685d, 4, end color #f9685d 都是 $12$12个因数.

我们可以将 $12$12 分成一行$\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 个点和一行 $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10个点. 所以$\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 和$\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 也是$12$12的因数吗?

不对. 因为这些点并没有分成相等的组, 所以$\greenD5$start color #1fab54, 5, end color #1fab54 和 $\goldD7$start color #e07d10, 7, end color #e07d10 不是因数.

我们可以不用绘图法找到$16$16 的因数, 而是想一想 $16$16能被哪些数整除.

$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd 是 $16$16的因数, 因为$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd 可以整除$16$16.
$16 \div \blueD{1}= \blueD{16}$16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
商, 也就是 $\blueD{16},$start color #11accd, 16, end color #11accd, comma也是 $16$16的因数.

$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 是 $16$16的因数, 因为$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 可以整除$16$16.
$16 \div \greenD{2}= \greenD{8}$16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
商, 也就是 $\greenD{8}$start color #1fab54, 8, end color #1fab54, 也是 $16$16的因数.

$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab 是 $16$16的因数, 因为$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab 可以整除$16$16.
$16 \div \purpleD{4}= \purpleD{4}$16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
这里商也是$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab, 我们已经知道它是$16$16的因数.

$16$16的因数是 $\blueD{1, 16}$start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, $\greenD{2, 8},$start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54, comma 和$\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab.

$3$3 和 $5$5 不是$16$16 的因数, 因为它们不能整除$16$16.

每个数都有因数 $1$1.

$1$1 是$10$10的因数.
$1$1是$364$364的因数.
$1$1是$5,787$5, comma, 787的因数.

每个数本身也是它的因数.

$41$41 是$41$41的因数.
$128$128 是$128$128的因数.
$4,379$4, comma, 379 是$4,379$4, comma, 379的因数.

得到一个特定积的两个相乘的数,称为因数对. 为了得到$8$8, 可以通过$\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab $\times$times $\purpleD{ 8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab 和 $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 $\times$times $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54. 所以 $8$8的因数对是 $\purpleD{1}$start color #7854ab, 1, end color #7854ab 和 $\purpleD{8}$start color #7854ab, 8, end color #7854ab 以及 $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 和 $\greenD{4}$start color #1fab54, 4, end color #1fab54.

通过平均分组排列点可知因数是成对出现的. 因数对中的一个因数是行数. 另一个因数是每行的点数.

让我们来找$20$20的因数对. 注意我们要找两个整数使得乘积为 $20$20.

我们从$\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd 开始, 因为每个数都有因数 $\blueD{1}$start color #11accd, 1, end color #11accd . $\blueD{1} \times \blueD{20}$start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd, 得到 $20$20, 所以 $\blueD{20}$start color #11accd, 20, end color #11accd 也是因数. 我们把这两个因数作为因数列表的两端, 为中间的其他因数留出空间.

按计数顺序下一个是 $2$2, 也是一个因数.

$\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 和哪个整数相乘可以得到$20$20呢? 是的. $\greenD{2} \times \greenD{10}=20$start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. 所以 $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 和 $\greenD{10}$start color #1fab54, 10, end color #1fab54 是另一对因数对.

下一个计数是 $3$3. $3$3和哪个整数相乘可以得到$20$20呢? 没有.所以$3$3 不是$20$20的因数.

$\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 乘以一个整数可以得到 $20$20 吗? 是的. $\redD{4} \times \redD{5}= 20$start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. 所以 $\redD{4}$start color #e84d39, 4, end color #e84d39 和 $\redD{5}$start color #e84d39, 5, end color #e84d39 是一对因数对.

下一个计数是 $5$5. 因为 $5$5 已经出现在列表里, 所以我们已经找到了$20$20的所有因数对.

一个整数和另一个整数相乘时得到的结果称为倍数. $\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed的前四个倍数是 $3, 6, 9$3, comma, 6, comma, 9,和 $12$12. 因为:

$\blue{3}$start color #6495ed, 3, end color #6495ed 的倍数还有 $15, 30$15, comma, 30 和 $300$300.

一个数的倍数的个数是无限的. 在这个例子中, $3$3可以和无穷多的数相乘得出新的倍数.

任何数的第一个倍数是它本身.
$7 \times 1 = 7$7, times, 1, equals, 7.

下表列出 $4$4的倍数.

下表列出 $8$8的倍数.

下面的图表示$4$4的倍数.

下一个盒子里瓢虫的的数目是下一个$4$4的倍数.

$\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 和 $\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54 都是 $\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd的 因数. 因为它们都可以整除$\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd.

$\blueD{28}$start color #11accd, 28, end color #11accd 是$\goldD{4}$start color #e07d10, 4, end color #e07d10 的倍数 ,也是$\greenD{7}$start color #1fab54, 7, end color #1fab54的 倍数.

我们知道 $9 \times 6 = 54$9, times, 6, equals, 54

因数和倍数可用于解决长方形边长和面积的问题.

长方形的面积是 $50$50 平方厘米.

王老师将 $36$36 块饼干分给他艺术课的学生.