方程解的个数

对于下面 的每一个方程，确定解的个数。 这里给我们三个方程。 在我解这些方程之前， 我特别要提醒大家， 什么情况下我们会有一个解，无穷多解或者无解。 你会得到一个解， 如果你能够通过解方程 得到 x 等于一个数值。 也就是说，x 等于--如果我说得抽象一点-- x = a ， 或者我们求解出实际的值， 我们得到 x 等于 5 或者 10 或者 -π -- 不管是什么， 只要你能够得到一个特定的 x ， 那么，你就得到一个解。 这种情况就有一个解，就是这样。 如果你对这些方程进行 完全合理的处理，但是最终 你得到一个荒谬的结果，比如像 3 = 5 ， 那么就没有解。 如果你合理地去考虑这个问题， 所有这些方程都是要找到 一个 x 它可以满足这个方程。 如果你一直对方程进行简化， 然而你得到诸如 3 = 5 这样的表示， 你问自己一个问题， 是否存在一个 x 可以魔幻地 让 3 等于 5 呢？ 没有， 没有任何一个 x 可以神奇地让 3 = 5 。 你不可能让它成立， 不管你让 x 等于什么。 所以，你如果得到很奇怪的诸如这样的表示， 它就意味着没有解。 另一方面，如果你得到诸如 5 = 5， 我用了过多的 5 ， 它不一定非要是 5 ， 它可以是 7 或者 10 或者 113 ，不管什么数， 让我不用 5 ， 只是为了让你们不会认为只是对 5 而言， 如果我得到一个数， 一个数等于它自己， 它就成立，不管你选择什么样的 x ，你选择任何 x ， 它都成立。 那么，你就有无穷多的解。 以此为基础， 让我们尝试来解这三个方程。 这里，我们看， 或许我们可以做减法。 如果我们想去掉左边的这个 2 ， 我们可以两边减掉 2 。 如果我们从两边减去 2 ， 在左边就剩下 就会剩下 -7x 。 在右边 就会 剩下 2x 这一项消掉，减 9x 。 2x 减 9x ，如果我们简化它，这就是 -7x 。 你得到 -7x = -7x 。 你或许会看出会是什么结果。 这对于任何 x 都成立。 -7 乘以 x 等于 -7 乘以 x 。 我们已经进入了这个情景。 但是你会说，我没有看到 13 等于 13 啊， 你看你把两边 都除以 -7 会怎样呢？ 这里，其实我没有必要这样做， 你已经知道，-7 乘以一个数， 总是会等于 -7 乘以那个数。 但是如果我们真的做了，我们会得到 x = x ， 然后，我们可以从两边减掉 x ， 你就会得到 0 = 0。 不管你的 x 选择什么值，它都成立。 0 永远等于 0 。 这些描述中的任何一个，对于任何选择的 x 的值 都成立。 所以，对于这个方程 我们有无穷多的解。 让我们来考虑中间这个方程， 再来一次，我们试着解出它。 我将用有点不同的方法。 我把这个 2x 和这个 -9x 相加， 我们就会得到 -7x 加 3 等于 -7x ， 2x 加 -9x 是 -7x 加 2。 好，让我们加上 -- 我们为什么不用绿色来做。 我们用绿色来做。 加 2 ，这是 2 。 现在，两边加上 7x 。 如果左边加上 7x ， 那里还剩下 3 ， 如果你在右边加上 7x ， 这一项消掉， 这里只剩下 2 。 这样，我只是加上 7x ， 在方程的两边加上 7x ， 现在，我们得到荒谬的结论。 我不管你选择什么样的 x ，不管这个 x 有多么神奇， 我们都不可能用那个 x 使得 3 等于 2。 在这种情况下，我们没有解。 在宇宙上没有 x 可以满足这个方程。 现在，我们尝试第三种情况。 再来一次，我们或许可以从两边减掉 3 。 消掉常数项。 这样，我们在左边得到 -7x ， 在右边，我们会有 2x 减 1。 现在，我们能在两边减去 2x ， 要在两边减去 2x ， 你会得到，--减去 2x -- ， 你会得到 -9x 等于 -1 。 现在，你可以两边同除以 -9 ， 就剩下 x 等于 1/9 。 我们是在这种情景下， 我们可以明确地找到一个 x ， x 等于 1/9 ，就能满足这个方程。 所以，这个方程确切地有一个解。