合并同类项: 负的系数

现在我们有一个非常繁琐的表达式。 看看你们能不能化简这个式子。 我给你们一些时间。 这个式子比上次的还要复杂。 里面有 y，xy，x²，x 后面还有更多的 xy，y等等。 乍一看你们可能会激动，看到这边有个 y， 这边也有个 y， 你们会想或许可以将 3y 和 4xy 相加， 因为这两个单项式里都有 y。 但这里必须意识到， y 和 xy 是不一样的。 代入数字思考一下。 如果 y 值为 3，x 值为 2，那么 y 是 3， 但是 xy 为 6。 y 和 y² 也不一样。 同样地，如果 y 值为3， 那么 y² 的值就是 9。 因此尽管你看到了同一个字母， 它们实际上是不一样的。这两项不能相加。 也不能相减， 因为 y 和 y² 是不一样的， y 和 xy 也不一样。 了解这点之后， 来看看是否可以化简。 首先考虑仅含 y 的单项式。 这里有一个 -3y。 还有别的吗？ 有的。 后面还有2y。 我把它写下来并调整顺序。 所以我们有 -3y + 2y。 接着， 我并没按特定的顺序化简，不过既然下一项是仅含 xy 的单项式， 我们就来考虑这类单项式。 这里有 +4xy。 我把它写下来， 我在整理多项式里各项的顺序，+4xy。 后面这儿还有 -4xy。 接着考虑仅含 x^2 的单项式。 这里有 -2x² 。 我们来看一下。 我把 -2x² 写下来。 还有别的吗？ 是有的。 那边还有 3x²。 接着加上 3x²。 这里有一个仅含 x 的单项式， 也是唯一仅含 x 的单项式。 因此直接加上 2x。 最后只剩下一个仅含 y² 的单项式了， 我用橙色把它圈出来，最后加上y²。 目前为止我将多项式中的各项调整了顺序 并且用不同颜色标出了不同类型的单项式。 现在应该稍微简单一些了。 我们试着化简一下。 如果我有负 3 个某样东西， 加上 2 样同样的东西，我会得到什么？ 或者说，如果我有 2 样某物， 减去三样同样的东西，我还剩下什么？ 答案是我还剩下 -1 样。 因此这里可以写 -1y，或者直接写作 -y。 另外一种思考方式是， （不过我更喜欢以直观的方式思考） 这儿的系数是多少？ 是 -3。 这里的系数又是多少？ 是 2。 它们都是仅含 y 的单项式的系数， 而不是含 xy 或是 y² 的单项式的系数，仅仅是 y。 -3 加上 2 等于 -1。 -1y 和 -y 是等价的。 因此这两个单项式就可以化简为如下这个。 接着来看含 xy 的单项式。 如果我有 4 个 xy， 再从中减去 4 个 xy，还剩下多少 xy？ 答案是没有xy了。 或者你可以把系数相加， 4 加上 -1 得到 0，也就是 0xy。 不管用哪种方法，这两项抵消了。 如果我有四样物品， 再拿走四样同样的物品，我就一样物品也没有了。 因此没有 xy 了。 接着看后面， 这下面我可以写 0xy， 但是这没必要。 接着是仅含 x² 的单项式。 -2 加上 3 为 1。 或者说，如果我有 3 个 x²， 然后拿走 2 个 x²， 那么我只剩下 1 个 x²。 因此这两项化简为 1x²。 或者我可以直接写 x²。 1x² 等同于 x²。 所以是加上x²， 然后剩下的无需化简了。 就是接着加上2x + y²。 化简完了。 你的结果 各项的顺序可能不一样， 不过它们的顺序是无所谓的。 重要的是， 你能够将原来的多项式化简成这几项。