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主要内容

斜截式:入门

学习双变量方程的斜截式以及如何通过解释它来找出直线的斜率和y截距。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

  • 什么是双变量方程的 斜截式
  • 如何通过一条直线的斜截式方程来找出它的斜率和y截距
  • 如何通过给定的斜率和y截距找出一条直线的方程

什么是斜截式?

斜截式 是线性方程的一种特定形式.它有以下的大概结构.
y=mx+b
在这里,mb可以是任意两个实数.比如,这些是写成斜截式的线性方程:
  • y=2x+1
  • y=3x+2.7
  • y=10100x
另一方面,这些线性方程则不是以斜截式表现的:
  • 2x+3y=5
  • y3=2(x1)
  • x=4y7
斜截式是线性方程中最为突出的一种形式.让我们深入地了解这是为什么吧.

斜截式的系数

除了简洁和简单, 斜截式的优点在于它给出了它所代表的线的两个主要特征:
  • 斜率是m.
  • y截距的y轴坐标是b. 换言之, 这条线的y截距为(0,b).
例如, 直线y=2x+1的斜率是2, 而它的y截距为(0,1):
这个形式之所以被称之为斜截式就是因为它给出了斜率和y截距!

检查你对内容的理解

问题1
直线 y=5x7 的斜率是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
直线 y=x+9 的斜率是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
直线 y=6x11y截距是多少?
选出正确答案:

问题 4
直线 y=4xy截距是多少?
选出正确答案:

问题5
直线 y=18x 的斜率是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题6
哪条线在点(0,4)有一个y截距?
选择所有正确的答案:

反思题
如何找到一条以斜截式给出的直线的斜率?
选出正确答案:

挑战题1
以下哪一项可以是这条线的等式?
选出正确答案:

挑战题 2
写出一条斜率为10, y截距为(0,20)的直线的方程。

为什么这个方法可以因式分解多项式?

你可能在想, 在斜截式中, m怎么就给出了斜率, 而b 怎么就给出了y截距.
这是某种魔术吗? 这当然不是魔术了. 在数学里, 这总是有解释的. 在本节中, 我们将会以y=2x+1为例来探索这个特性.

为什么b给出了y截距

y截距时, x值总是为零. 所以若我们想找出y=2x+1y截距, 我们应该将x=0代入并求解y.
y=2x+1=20+1代入 x=0=0+1=1
我们可以看到在y截距时, 2x变为零, 因此我们得出了y=1.

为什么m给出了斜率

让我们回想一下斜率是什么. 斜率是一条线上任意两点之间y的变化率除以x的变化率.
斜率=y值的变化x值的变化
如果我们取两个x的变化正好是1个单位的点, 那么y的变化将会等于斜率本身.
斜率=变化y1=变化y
现在让我们来看一下当x值稳定地以1个单位的速度增长时, y值在方程y=2x+1y都发生了些什么吧.
xy
01+02=1
11+12=1+2
21+22=1+2+2
31+32=1+2+2+2
41+42=1+2+2+2+2
我们可以看到每当x增长1个单位, y也会增长2个单位. 这是因为xy的计算当中决定了2的乘法次数.
如上所示, y对应x1个单位的变化是等于这条线的斜率的. 因此, 斜率为2.
挑战题 3
写出这条线的方程。
y=

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