椭圆简介

上一节 我讲了圆 本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 圆是椭圆的特例 圆心到圆上的距离总是相等 而椭圆中 圆心到圆上的距离总是相等 而椭圆中 中心到椭圆上的距离总在变化 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 椭圆的形状 第一个视频就讲过 大概是这样的 椭圆上的点到中心的距离总在改变 假设椭圆中心是原点 oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 这是原点 可以看到 椭圆上的这一点 离圆心很近 这是离中心最近的 下面这里也是一样 而这里 离中心非常远 这是椭圆上离中心最远的 圆是特例 因为圆上 最远距离和最近距离是一样的 最远距离和最近距离是一样的 即离中心距离总不变 好了 来看一下数学表示 以原点为中心的椭圆表示为 x2/a2+y2/b2=1 a和b是任意两个数 写c2或d2也行 只不过是两个待定系数 如果这是椭圆的方程 a表示x方向上的半轴长 这下面是a2 开根号以后 分母中的a 是x半轴 图像中 这一段也就是a 图像中 这一段也就是a 或者说这一点的坐标是 x=a y=0 当然 这个距离也是a 这一点是(-a,0) 而y方向上的半轴长是这一段 这是b 这一点x=0 y=b 同理 这一点处x=0 y=-b 这里画的椭圆又矮又扁 椭圆也可以又高又细 在椭圆中 较短的这个距离称为短轴 正确的术语我总是忘记 b称为半短轴长 这个词怎么来的呢 整个这段是短轴 整个这段是短轴 因为它是整个椭圆中最短的距离 因为它是整个椭圆中最短的距离 半 这表示短轴的一半 b也就是半短轴长 这里的b是半短轴 因为这个椭圆中 碰巧是b小于a 如果b大于a 椭圆会又高又细 我画一个吧 大概是这样 像这样的一个椭圆中 b就是半长轴了 因为b大于a 高比宽要大 我就不把图搞得乱糟糟了 这里 a称为半长轴长 大家肯定猜到了 这里 a称为半长轴长 大家肯定猜到了 也可以称为长半轴长 对应的 这个称为短半轴长 看个例子吧 用实际数字为例时 会更清楚明了 我们看一下这么个椭圆 x2/9+y2/25=1 x方向的半轴是多少 这是x方向半轴长的平方 所以半短轴长是 a=3 所以半短轴长是 a=3 因为这是a2 这个是b2 b=5 这是中心在原点的椭圆 先画图 很明显 y方向的半轴 大于x方向的半轴 椭圆将又高又细 大概是这样的 画出坐标轴 x轴和y轴 这是y方向的半轴长 有就是这段 长度是5 这个也一样 而这是x方向的半轴长 这是3 这也是3 这样 椭圆就画好了 很简单 还是强调一下 圆是椭圆的特例 上一节 我讲了圆的方程 圆心在原点的圆是 x2+y2=r2 两侧同时除以r2 通过简单代数运算 有x2/r2+y2/r2=1 此时a=r且b=r 半短轴和半长轴都是r 也就是说 这个距离等于这个 所以 既不长也不扁 完全是圆的 所以说 圆是椭圆的特例 下面看稍微复杂一些的情况 这可能会出现在考试中 也就是椭圆的平移 把这个椭圆平移一下 往右移5格 中心处x不再是0 而是5 可以这样考虑 这一项需要是什么 才能当x=5时 它为0 我画一下 有点复杂 右移5格之后 新方程 是(x-5)2/9+y2/25=1 画一下这个椭圆 大概是这样 我要画一个和原来一样的椭圆 像这样 平移了5格 根据圆那一节我们讲的内容 我们知道 平移后 中心处x=5 我们知道 平移后 中心处x=5 可以记住这个 这里是个负号 表示中心为正数 这里是+5 这是正号 中心处就是负数 考虑方法实际上是这样的 x=5时 x-5这整项 会和原来的x整项性质一样 x=5时 这一项为0 就像x=0时一样 x=5时 这一项为0 y2/25=1 y=5 x=5时 这一项为0 y2/25=1 y=5 就像这里 x=0时 y2/25=1 y=±5 就像这里 x=0时 y2/25=1 y=±5 希望大家能够有这种认识 然后 再将方程下移2格 新椭圆会像这样… 其实不仅是圆锥曲线 所有函数曲线平移时都是如此 所有函数曲线平移时都是如此 往右平移5格 所有x替换为x-5 往右平移5格 所有x替换为x-5 往下平移2格 所有y替换为y+2 往下平移2格 所有y替换为y+2 先画一下新的椭圆再说 往下平移2格 新椭圆大概是这样 把黄色这个向下平移2格 下移后 x这里不变 (x-5)2/9+(y+2)2/25=1 这是因为 当y=-2时 这整项是0 这是因为 当y=-2时 这整项是0 这整个是0 和这整个是0的效果一样 y=-2与原来得到曲线上相同的相对位置 y=-2与原来得到曲线上相同的相对位置 也就是这里 这和原来y=0时位置一致 这里 不是同一点 不过相对椭圆是相同位置 可以说是 椭圆相同的最大宽度值 这里 这里y=-2 对应于 这里y=0 因为y=-2代入这里整个是0 和这里y=0时一样 大家明白没 我总结一下 有时题目要求画图：(y-1)2/4+(x+2)2/9=1 有时题目要求画图：(y-1)2/4+(x+2)2/9=1 看到这种题目 首先 想像标准的y2/4+x2/9=1 形状一样 只是需要平移 这个的中心是(0,0) 而上面这个呢 其中心是(-2,1) 画图时 这个y方向半轴长为2 22=4 而x方向半轴长是3 32=9 所以x半轴长于y半轴 所以椭圆有些扁 首先画坐标轴吧 重画 这是纵轴 这是横轴 中心在(-2,1) 这是(-2,1) 它是椭圆的中心 x方向上 半轴长度为3 所以这个方向是3 最宽处有3格远 y方向上 半轴长为2 这一点 还有这一点 椭圆大概像这样 比较扁 这是因为 x半轴长大于y半轴长 这个距离和这个距离是3 而这个距离和这个距离只有2 这些点也可以求出 时间关系 我就不都求出了 中心是(-2,1) 这一点比这个大3 也就是(1,1) x方向往这边 有(-5,1) 其它点求法一样 这是很好的练习 以上就是椭圆 以后视频中还有更复杂的问题 需要化简曲线方程来知道 这是一个椭圆