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主要内容

椭圆简介

Sal介绍了椭圆形并且展示了椭圆形圆心和半径与它的标准形式方程之间的关系(椭圆形有两个半径:长半径和短半径)。 Sal Khan美国国家航空航天局 创建

视频字幕

上一节 我讲了圆 本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 圆是椭圆的特例 圆心到圆上的距离总是相等 而椭圆中 圆心到圆上的距离总是相等 而椭圆中 中心到椭圆上的距离总在变化 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 椭圆的形状 第一个视频就讲过 大概是这样的 椭圆上的点到中心的距离总在改变 假设椭圆中心是原点 oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 这是原点 可以看到 椭圆上的这一点 离圆心很近 这是离中心最近的 下面这里也是一样 而这里 离中心非常远 这是椭圆上离中心最远的 圆是特例 因为圆上 最远距离和最近距离是一样的 最远距离和最近距离是一样的 即离中心距离总不变 好了 来看一下数学表示 以原点为中心的椭圆表示为 x2/a2+y2/b2=1 a和b是任意两个数 写c2或d2也行 只不过是两个待定系数 如果这是椭圆的方程 a表示x方向上的半轴长 这下面是a2 开根号以后 分母中的a 是x半轴 图像中 这一段也就是a 图像中 这一段也就是a 或者说这一点的坐标是 x=a y=0 当然 这个距离也是a 这一点是(-a,0) 而y方向上的半轴长是这一段 这是b 这一点x=0 y=b 同理 这一点处x=0 y=-b 这里画的椭圆又矮又扁 椭圆也可以又高又细 在椭圆中 较短的这个距离称为短轴 正确的术语我总是忘记 b称为半短轴长 这个词怎么来的呢 整个这段是短轴 整个这段是短轴 因为它是整个椭圆中最短的距离 因为它是整个椭圆中最短的距离 半 这表示短轴的一半 b也就是半短轴长 这里的b是半短轴 因为这个椭圆中 碰巧是b小于a 如果b大于a 椭圆会又高又细 我画一个吧 大概是这样 像这样的一个椭圆中 b就是半长轴了 因为b大于a 高比宽要大 我就不把图搞得乱糟糟了 这里 a称为半长轴长 大家肯定猜到了 这里 a称为半长轴长 大家肯定猜到了 也可以称为长半轴长 对应的 这个称为短半轴长 看个例子吧 用实际数字为例时 会更清楚明了 我们看一下这么个椭圆 x2/9+y2/25=1 x方向的半轴是多少 这是x方向半轴长的平方 所以半短轴长是 a=3 所以半短轴长是 a=3 因为这是a2 这个是b2 b=5 这是中心在原点的椭圆 先画图 很明显 y方向的半轴 大于x方向的半轴 椭圆将又高又细 大概是这样的 画出坐标轴 x轴和y轴 这是y方向的半轴长 有就是这段 长度是5 这个也一样 而这是x方向的半轴长 这是3 这也是3 这样 椭圆就画好了 很简单 还是强调一下 圆是椭圆的特例 上一节 我讲了圆的方程 圆心在原点的圆是 x2+y2=r2 两侧同时除以r2 通过简单代数运算 有x2/r2+y2/r2=1 此时a=r且b=r 半短轴和半长轴都是r 也就是说 这个距离等于这个 所以 既不长也不扁 完全是圆的 所以说 圆是椭圆的特例 下面看稍微复杂一些的情况 这可能会出现在考试中 也就是椭圆的平移 把这个椭圆平移一下 往右移5格 中心处x不再是0 而是5 可以这样考虑 这一项需要是什么 才能当x=5时 它为0 我画一下 有点复杂 右移5格之后 新方程 是(x-5)2/9+y2/25=1 画一下这个椭圆 大概是这样 我要画一个和原来一样的椭圆 像这样 平移了5格 根据圆那一节我们讲的内容 我们知道 平移后 中心处x=5 我们知道 平移后 中心处x=5 可以记住这个 这里是个负号 表示中心为正数 这里是+5 这是正号 中心处就是负数 考虑方法实际上是这样的 x=5时 x-5这整项 会和原来的x整项性质一样 x=5时 这一项为0 就像x=0时一样 x=5时 这一项为0 y2/25=1 y=5 x=5时 这一项为0 y2/25=1 y=5 就像这里 x=0时 y2/25=1 y=±5 就像这里 x=0时 y2/25=1 y=±5 希望大家能够有这种认识 然后 再将方程下移2格 新椭圆会像这样… 其实不仅是圆锥曲线 所有函数曲线平移时都是如此 所有函数曲线平移时都是如此 往右平移5格 所有x替换为x-5 往右平移5格 所有x替换为x-5 往下平移2格 所有y替换为y+2 往下平移2格 所有y替换为y+2 先画一下新的椭圆再说 往下平移2格 新椭圆大概是这样 把黄色这个向下平移2格 下移后 x这里不变 (x-5)2/9+(y+2)2/25=1 这是因为 当y=-2时 这整项是0 这是因为 当y=-2时 这整项是0 这整个是0 和这整个是0的效果一样 y=-2与原来得到曲线上相同的相对位置 y=-2与原来得到曲线上相同的相对位置 也就是这里 这和原来y=0时位置一致 这里 不是同一点 不过相对椭圆是相同位置 可以说是 椭圆相同的最大宽度值 这里 这里y=-2 对应于 这里y=0 因为y=-2代入这里整个是0 和这里y=0时一样 大家明白没 我总结一下 有时题目要求画图:(y-1)2/4+(x+2)2/9=1 有时题目要求画图:(y-1)2/4+(x+2)2/9=1 看到这种题目 首先 想像标准的y2/4+x2/9=1 形状一样 只是需要平移 这个的中心是(0,0) 而上面这个呢 其中心是(-2,1) 画图时 这个y方向半轴长为2 22=4 而x方向半轴长是3 32=9 所以x半轴长于y半轴 所以椭圆有些扁 首先画坐标轴吧 重画 这是纵轴 这是横轴 中心在(-2,1) 这是(-2,1) 它是椭圆的中心 x方向上 半轴长度为3 所以这个方向是3 最宽处有3格远 y方向上 半轴长为2 这一点 还有这一点 椭圆大概像这样 比较扁 这是因为 x半轴长大于y半轴长 这个距离和这个距离是3 而这个距离和这个距离只有2 这些点也可以求出 时间关系 我就不都求出了 中心是(-2,1) 这一点比这个大3 也就是(1,1) x方向往这边 有(-5,1) 其它点求法一样 这是很好的练习 以上就是椭圆 以后视频中还有更复杂的问题 需要化简曲线方程来知道 这是一个椭圆