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主要内容

圆方程总结

复习圆方程的标准形式和展开形式,并求解它们的相关问题。

圆的标准方程是什么?

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
这是圆心为 left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis,半径为 start color #e07d10, r, end color #e07d10 的圆的标准方程式。
圆也可以用展开形式来表达,即将标准形式的二项式平方展开,并合并同类项所得的结果。
例如,圆心为 left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, comma, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis 半径为 start color #e07d10, 3, end color #e07d10 的圆的表达式为 left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared。这是它的展开形式:
(x1)2+(y2)2=32(x22x+1)+(y24y+4)=9x2+y22x4y4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
想要深入了解圆的方程式?看看 这个视频

习题组1:使用圆的标准方程

问题1.1
  • 当前
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
这个圆的圆心是什么?
left parenthesis
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
comma
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
right parenthesis
半径是什么?
如果必要,四舍五入答案到两位小数。
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
个单位

想要试试更多的类似习题? 看看 这个练习这个练习.

习题组2:写出圆的方程式

问题2.1
  • 当前
一个圆半径 square root of, 13, end square root 及圆心为 left parenthesis, minus, 9, point, 3, comma, 4, point, 1, right parenthesis
写出这个圆的方程式。

想要练习更多类似的题目,请点击 这个练习

习题组3:使用圆的展开形式方程式

要解读圆的展开形式方程式,我们应该用“配方”法把它写成标准形式。
例如,思考把展开方程 x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 改写成标准形式的步骤:
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=105(x2+18x)+(y2+14y)=105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x(9))2+(y(7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
现在我们可以看出圆心是left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis以及半径是5
问题3.1
  • 当前
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
这个圆的圆心是什么?
left parenthesis
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
comma
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
right parenthesis
这个圆的半径是什么?
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数,例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数,例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
个单位

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