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主要内容

预备微积分

课程: 预备微积分 > 单元 2

课程 4: 一个圆的展开方程
数学
预备微积分
圆锥曲线
一个圆的展开方程
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圆方程总结

Google课堂
复习圆方程的标准形式和展开形式，并求解它们的相关问题。

圆的标准方程是什么？

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
这是圆心为 left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis，半径为 start color #e07d10, r, end color #e07d10 的圆的标准方程式。
圆也可以用展开形式来表达，即将标准形式的二项式平方展开，并合并同类项所得的结果。
例如，圆心为 left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, comma, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis 半径为 start color #e07d10, 3, end color #e07d10 的圆的表达式为 left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared。这是它的展开形式：
(x−1)2+(y−2)2=32(x2−2x+1)+(y2−4y+4)=9x2+y2−2x−4y−4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
想要深入了解圆的方程式？看看 这个视频。

习题组1：使用圆的标准方程

问题1.1
  • 当前
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
这个圆的圆心是什么？
left parenthesis
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
comma
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
right parenthesis
半径是什么？
如果必要，四舍五入答案到两位小数。
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
个单位

想要试试更多的类似习题？ 看看 这个练习 和 这个练习.

习题组2：写出圆的方程式

问题2.1
  • 当前
一个圆半径 square root of, 13, end square root 及圆心为 left parenthesis, minus, 9, point, 3, comma, 4, point, 1, right parenthesis。
写出这个圆的方程式。

想要练习更多类似的题目，请点击 这个练习。

习题组3：使用圆的展开形式方程式

要解读圆的展开形式方程式，我们应该用“配方”法把它写成标准形式。
例如，思考把展开方程 x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 改写成标准形式的步骤：
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=−105(x2+18x)+(y2+14y)=−105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=−105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x−(−9))2+(y−(−7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
现在我们可以看出圆心是left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis以及半径是5。
问题3.1
  • 当前
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
这个圆的圆心是什么？
left parenthesis
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
comma
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
right parenthesis
这个圆的半径是什么？
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
个单位

想要试试更多的类似习题？ 看看 这个练习 和 这个练习.

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