从方程中找到双曲线的焦点

上一节 我们学习了 椭圆可以被定义为 到两特殊点距离之和等于常值的所有点的轨迹 到两特殊点距离之和等于常值的所有点的轨迹 这两特殊点称作焦点 这是椭圆 大概是这样 这是椭圆 大概是这样 中心在原点 不一定要这样 简单起见 就让中心在原点 假设这是一个焦点 这是另一个 根据椭圆定义 椭圆上任一点 根据椭圆定义 椭圆上任一点 分别连接这一点和两个焦点 分别连接这一点和两个焦点 这个记作d? 另一个记作d? 对于椭圆上任意点 这两个距离之和保持不变 比如随便取另外一个点 并将这两个距离加起来 这个记作d? 这个记作d? 这些到两焦点的距离之和总相等 这些到两焦点的距离之和总相等 这里有d?+d?=d?+d? 这在整个椭圆上都成立 而且这个常数等于2a 其中a是半长轴长 而且这个常数等于2a 其中a是半长轴长 椭圆公式是这样的 就是这里的a x2/a2+y2/b2=1 半焦距 或者说椭圆焦点到中心的距离 是这两个数之差开平方 这是半焦距f 这里因为a>b 它等于根号下(a2-b2) 这里因为a>b 它等于根号下(a2-b2) 如果是竖直椭圆 也就是这样的椭圆 像这样 用蓝色画 大概是这样的 此时 半长轴在y方向 这是b 这是a 这里b>a 椭圆又高又瘦 而焦点总在长轴上 所以这里在纵轴上 这里和这里 所以这里在纵轴上 这里和这里 半焦距就是上下这两段距离 半焦距就是上下这两段距离 原来是a2-b2 现在b>a 半焦距于是等于根号(b2-a2) 很好 以上复习 可以同这一节的内容进行对比 这一节讲双曲线的焦点 双曲线和椭圆很像 因为两者的方程很像 双曲线是 x2/a2-y2/b2=1 或者也可以是y2/a2-x2/b2=1 或者也可以是y2/a2-x2/b2=1 一会再说 这个双曲线是这样的 画一下 首先是坐标轴 然后画渐近线 之前讲过 这种双曲线的渐近线是y=±b/ax 这种双曲线的渐近线是y=±b/ax 大概是这样一条斜线 像这样 然后像这样 这些是渐近线 原点是中心 图像没有平移 这是两条渐近线 我称这个是水平双曲线 可以这样想 解出y 会发现总比渐近线低一点 或者考虑x还是y可以为0 y=0表示x轴上 此时 x2/a2=1 即x2=a2 x=±a 所以(a,0)和(-a,0)都在双曲线上 因为双曲线总在渐近线内 不会超出 所以双曲线两支必然在左右两侧 所以大致是这样 用这个颜色 大致这样 很不好画 逐渐逼近 这是双曲线的一个顶点 然后这样 注意它和椭圆的类似之处 这个距离… 来点更鲜艳的颜色 看双曲线两支之间的这段距离 看双曲线两支之间的这段距离 这是a 这也是a 中间距离整个是2a 很类似于 椭圆的情况 这一段是a 这一段也是a 可见 水平椭圆左右两端点间的距离 同水平双曲线左右顶点间距离是一样的 只是双曲线向外开口 而椭圆向内闭合 就是这样 这一节的中心是讨论焦点 上一节后 你也许猜到了 其实双曲线也有焦点 只是在两端点外侧 其实双曲线也有焦点 只是在两端点外侧 换个亮一点的颜色 这样更显眼 这是两个焦点 注意双曲线的不同 椭圆的定义是 到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 而双曲线的定义是 到两焦点距离之差等于常值的所有点的轨迹 注意这里是距离之差 而不是之和 写一下 这是d? 这是d? 然后取两者差的绝对值 因为这一支上d?大于d? 因为这一支上d?大于d? 而另一支上 d?短于d? d?-d?的绝对值是常数 相比之下 椭圆时 d?+d?是常数 两者相关性很大 椭圆中 到两焦点的距离之和为常数 椭圆中 到两焦点的距离之和为常数 而双曲线中 则是距离之差 而双曲线中 则是距离之差 这个绝对值 在这一点时也是一样 双曲线上任意一点都一样 设这个为d?和d? 它两之差 与d? d?之差相同 这在整个双曲线上都成立 那么 这个常数等于多少呢 这就需要找一个特殊的点了 讨论椭圆的时候 我们使用的是这两点 发现 这个距离和 这个距离之和 等于2a 也就是长轴长 因为这一段等于这一段 所以这加这 等于这加这 也就是2a 所以到两焦点的距离和总为2a 所以到两焦点的距离和总为2a 而双曲线中 到两焦点的距离差是多少呢 选这一点 换个颜色 洋红色这段距离 这是到一个焦点的距离 减去 淡蓝色这段距离 是多少 洋红色距离减去淡蓝色距离 这和椭圆时的讨论很类似 淡蓝色这一段 双曲线右支顶点到右焦点的距离 双曲线右支顶点到右焦点的距离 等于这个距离 因为双曲线关于原点对称 两侧这些距离都是相等的 这个很容易理解 两侧这些距离都是相等的 这个很容易理解 两侧这些距离都是相等的 这个很容易理解 这一段等于这一段 则洋红色这段减去浅蓝色这段 等于绿色这段 绿色这段是多少 是2a 一开始我就说过 所以这个也等于2a 就讲到这里吧… 算了 还要讲个例题 这样才能更具体一些 看看 如果是椭圆的话 x2/a2+y2/b2=1 这是一个椭圆 我们知道 半焦距是根号(a2-b2) 我们知道 半焦距是根号(a2-b2) 而双曲线和椭圆相似点很多 而双曲线和椭圆相似点很多 那么仔细想想 若双曲线方程是这样 x2/a2-y2/b2=1 当然 它也可以是y2/a2-x2/b2=1 半焦距公式是怎样的呢 下一节我会证明 半焦距公式是怎样的呢 下一节我会证明 双曲线半焦距是根号下a2和b2之和 双曲线半焦距是根号下a2和b2之和 注意 只相差一个符号 之前是两个分母的差 现在是两个分母的和 假设有这样一个双曲线 x2/9-y2/16=1 首先可以通过公式求出半焦距 首先可以通过公式求出半焦距 半焦距是根号(a2+b2) 这是a2 所以a=3 b=4 9+16=25 所以f=5 下面作图 先画坐标轴 这里焦点在中心两侧 这里焦点在中心两侧 如果是上下开口的双曲线 焦点则在中心上下 抱歉 这里不是加号 双曲线 这里应该是减 别搞错 如果写成加号 那就是椭圆了 减号才是双曲线 以原点为中心 它有两条渐近线 这里是16/9 所以 斜率比较陡 大概是这样 这是两条渐近线 两个顶点相距2a 而a是3 a2=9 b2=16 中心在原点 所以顶点是3和-3 而焦点离中心距离是5 所以在这里 而焦点离中心距离是5 所以在这里 (5,0) 然后是(-5,0) 这是-3 这是3 画图 大概是这样 就是这样 取双曲线上任意一点 用这个距离 减去这个距离 结果是一个常数 也就是2a 这里等于6 好 希望最后这个符号错误没把大家搞糊涂 希望最后这个符号错误没把大家搞糊涂 下一节 我将证明这个公式 比较麻烦的代数计算 不过很有趣 本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org