双曲线焦点公式的证明

本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 上一节我讲了 对于双曲线 x2/a2-y2/b2=1 半焦距 等于根号下这两个数字之和 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 根号(a2+b2) 这一节 我将证明之 提醒一下 这个方程 表示左右开口的双曲线 oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 像这样 这是渐近线 这是坐标轴 由于含x项为正 如果是y2/a2-x2/b2=1 则双曲线是上下开口 这一节课要讲的证明 会涉及到很多代数运算 这在两种情况下同时适用 这里不失一般性 只考虑左右开口的双曲线情形 只考虑左右开口的双曲线情形 也就是我说的水平双曲线情形 不过 我需要声明还有垂直双曲线 下面 画图 确保大家更好地理解了双曲线焦点 确保大家更好地理解了双曲线焦点 确保大家更好地理解了双曲线焦点 这是坐标轴 双曲线的渐近线是 y=±b/ax 哦 忘选直线工具了 这是一条 又一条 这是渐近线 双曲线大概是这样的 同x轴相交于(a,0) 这里则是(-a,0) 由上一节 我们知道大概是这样的 然后焦点在轴线上 这里和这里 半焦距是根号下(a2+b2) 也就是这段 这就是半焦距 这一点是(f,0) 这一点是(-f,0) 上一节 我讲了双曲线的一种定义是 到两焦点距离之差的绝对值等于常值的所有点的轨迹 到两焦点距离之差的绝对值等于常值的所有点的轨迹 到两焦点距离之差的绝对值等于常值的所有点的轨迹 双曲线上任意一点(x,y) 满足曲线方程的任意一点 双曲线上任意一点(x,y) 满足曲线方程的任意一点 这一段距离d? 减去到另一个焦点的距离d? 只要在双曲线上 这个差将是常数 双曲线的轨迹其实就是 满足这个条件的所有点 上一节 我们取了这一点 然后计算了两段距离之差 求出值为2a 即d?-d?=2a 写超了 下面用d?-d?=2a这一性质来证明这个 首先用距离公式求d?和d? 首先用距离公式求d?和d? d?是多少 d?是这一点到点(-f,0)的距离 根据距离公式 或者说勾股定理 它等于x方向上的距离 即[x-(-f)]2 加上y方向上的距离 y-0 也就是y 平方 整个开根号 这就是d? 然后要减去d? 求两者之差 这里d?明显大于d? 当然 总是要取绝对值的 无所谓 d?是根号[(x-f)2+y2] 这等于多少 这等于2a 也就是这一段距离 等于2a 再看如何化简 可以先把这个放到 等式的另一侧 这比较麻烦 但愿别算错 写小点 节约空间 这里有(x+f)2 负负得正 加上y2 等于2a 加上 根号[(x-f)2+y2] 两侧同时平方 去根号 左侧有 (x+f)2+y2 这个平方 首先平方第一项 4a2 然后两项相乘乘以2 因为是整个的平方 这是二项式的复习 这里2a乘以这个乘以2 有4a乘以根号[(x-f)2+y2] 有4a乘以根号[(x-f)2+y2] 然后这一项也要平方 根号没了 还是用这个颜色吧 即(x-f)2+y2 这里就可以消去一些项了 y2两侧都有 可以消去 y2两侧都有 可以消去 两侧同时减去y2 再把这个乘出来 有x2+2xf+f2 等于4a2+4a根号[(x-f)2+y2] 等于4a2+4a根号[(x-f)2+y2] 再把这个乘出来 +x2-2xf+f2 再看哪些可以消去 两侧都有x2 可以消去 两侧都有x2 可以消去 两侧都有f2 也都消去 再看如何化简 两侧有-2xf和+2xf 把-2xf移过来 两侧加2xf 手机响了 关掉 两侧加2xf 得到什么 得到4xf 这是简单的移项 等于4a2+4a根号[(x-f)2+y2] 等于4a2+4a根号[(x-f)2+y2] 很容易迷失在计算中 记住 我们是在化简到焦点的两距离之差 记住 我们是在化简到焦点的两距离之差 看这同双曲线方程中的a和b是何关系 把4a2移到这边 有4xf-4a2=4a根号[(x-f)2+y2] 把4a2移到这边 有4xf-4a2=4a根号[(x-f)2+y2] 把这个也乘出来 x2-2xf+f2+y2 也就是这个乘出来 y2来自后面这一项 两侧同时除以4 这里想尽可能化简 得到xf-a2=a根号(x2-2xf+f2+y2) 得到xf-a2=a根号(x2-2xf+f2+y2) 得到xf-a2=a根号(x2-2xf+f2+y2) 然后两侧同时平方 这一边得到 x2f2-2a2xf+a? 这一边得到 x2f2-2a2xf+a? 这是这一边平方 等于 右侧也要平方 a2(x2-2xf+f2+y2) a2(x2-2xf+f2+y2) 仍然很复杂 再看怎么做 两侧同时除以a2 得到x2f2/a2-2xf+a2=x2-2xf+f2+y2 得到x2f2/a2-2xf+a2=x2-2xf+f2+y2 得到x2f2/a2-2xf+a2=x2-2xf+f2+y2 得到x2f2/a2-2xf+a2=x2-2xf+f2+y2 得到x2f2/a2-2xf+a2=x2-2xf+f2+y2 很好 又可以消去一些项 两侧都有-2xf 消去 稍微化简了一些 再把这个x2移过去 重新写一下 有x2f2/a2-x2 把y2也移过来 减y2 这是把y2移了过来 然后 跳过一些步骤吧 否则太花时间 把这个a2移过去 先是把x2和y2移到左侧 先是把x2和y2移到左侧 然后两侧同时减a2 有些让人精疲力竭 得到f2-a2 基本好了 这个还可以把x2提出来 得到(f2/a2-1)x2-y2=f2-a2 得到(f2/a2-1)x2-y2=f2-a2 得到(f2/a2-1)x2-y2=f2-a2 然后两侧同时除以f2-a2 然后两侧同时除以f2-a2 这就熟悉多了 得到 (f2/a2-1)x2/(f2-a2)-y2/(f2-a2)=1 这是两侧同时除以f2-a2 再看如何化简 上下同时乘以a2 上下同乘 分式的值不变 因为相当于乘的是1 上下乘以a2 分子得到f2-a2 这是这个乘以a2 分母得到a2(f2-a2) 后面乘以x2 -y2/(f2-a2)=1 这些约掉 得到和双曲线方程很接近的式子 这是激动人心的部分 就像持续黑暗后的光明 得到x2/a2-y2/(f2-a2)=1 这和开始的双曲线方程很像 原来双曲线是x2/a2-y2/b2=1 相差只是这里换成了b2 一开始 我们问 到两焦点距离之差为2a的所有点的轨迹是什么 到两焦点距离之差为2a的所有点的轨迹是什么 我们进行了一些代数运算 精疲力竭之时 突然得到这个式子 精疲力竭之时 突然得到这个式子 这说明这是椭圆的公式 它应该和这个等价 所以这等于这 所以f2-a2 即半焦距2-a2=b2 两侧同时加上a2 得到f2=a2+b2 两侧同时加上a2 得到f2=a2+b2 即半焦距等于根号(a2+b2) 即半焦距等于根号(a2+b2) 这就是一开始我们要证明的 现在可以确信 双曲线半焦距是两分母之和开根号 现在可以确信 双曲线半焦距是两分母之和开根号 这对上下开口的双曲线也同样成立 而对于椭圆 半焦距是两分母之差开根号 就讲到这里 问题太消耗体力了 我得补充点水分