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主要内容

从等式中找出椭圆的焦点

Sal解释了椭圆的焦点与其半径的关系,以及怎么样利用这个关系从椭圆的公式中找到它的焦点。 Sal Khan 创建

视频字幕

假设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1 本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 简便起见 不妨设a>b 假设是一个又矮又胖的椭圆 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 长轴在水平方向 短轴在竖直方向 画一下 oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 用粗一点的笔 这是椭圆 再画坐标轴 这是横轴 这是纵轴 椭圆我已经讲得很多了 我们知道 这里半短轴长是b 我们知道 这里半短轴长是b 也就是这个b 这是半短轴 因为b 如果b>a 那这就是长轴了 这里 半长轴长是a 也就是这段距离 椭圆最有趣的性质就是 椭圆上任意一点到两定点的距离之和相等 椭圆上任意一点到两定点的距离之和相等 这两个定点称作椭圆的焦点 这两个定点称作椭圆的焦点 且两个焦点总在长轴上 这里也就是横轴 且两焦点关于椭圆中心对称 一个记作f1 另一个记作f2 这是椭圆超有趣的特性 通常也被作为椭圆的定义 即任意点到两焦点的距离之和始终不变 比如从这个点出发 到f1的距离记作d1 然后还有这一段距离 椭圆上任意一点 到这两焦点的距离… 这是d2换个颜色 这整条线段是d2 把这两个距离值加起来 即d1+d2 将是一个常数 这个常数是2a 椭圆上任一点都是如此 我讲清楚点 我将证明这个常数是2a 也就是这里的a 我将证明这个常数是2a 也就是这里的a 大家务必弄懂我刚讲的 我再任取一点 这个吧 这个点到焦点的距离记作d3 这个点到焦点的距离记作d3 这个点到焦点的距离记作d4 两者相加 仍然是2a 写下来 d3+d4仍然等于2a 非常棒 通常椭圆定义为 到两焦点距离之和等于常值的所有点的集合 集合有时也用轨迹 轨迹是集合在几何上的说法 到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 我会根据这个定义 求出焦点的位置 首先感受下到两焦点距离之和为常值这一概念 首先感受下到两焦点距离之和为常值这一概念 我们可以先看看极端情况 看x轴上这两点 我们可以先看看极端情况 看x轴上这两点 根据刚才的定义 这个距离… 换个颜色… 这个距离+这个距离将等于常数 这个距离+这个距离将等于常数 通过这个极值点 我将证明 常值为2a 看看怎么来的 很明显 这两个焦点关于原点对称 很明显 这两个焦点关于原点对称 不管这个距离是多少 它总等于这个距离 因为这两个点关于原点对称 这一段和这一段一样长 这里要求的是 这一段距离和 这一长段距离之和 这个距离+绿色距离是多少呢 这个等于这个 这个加绿色的… 写一下 标注一下 这个记作G 这个为G 这个为H 因为对称 这一段也是G 那G+H是多少呢 也就是这个G+H 也就是整个长轴的长度 它是多少 半长轴长a 所以这一段也是a 于是 这一点到两焦点距离之和 于是 这一点到两焦点距离之和 等于G+H 这等于椭圆的长轴长 也就是2a 但愿大家能够明白 然后看这些焦点在哪 然后看这些焦点在哪 如何通过方程找到这两点 如何通过方程找到这两点 首先意识到 这个点太容易算了 首先意识到 这个点太容易算了 就算是这个点 两距离之和也是2a 就算是这个点 两距离之和也是2a 这种信息能让我们求出焦点位置 我重画一下椭圆 错了 不是圆 这是椭圆 再画坐标轴 重写一下方程 x2/a2+y2/b2=1 选这个点 极值点在证明时总是很有用 极值点在证明时总是很有用 由于两焦点是对称的 由于两焦点是对称的 这是f1 这是f2 椭圆是到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 椭圆是到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 椭圆是到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 椭圆是到两焦点距离之和等于常值的所有点的轨迹 而且该常值等于2a 所以这一段距离 加上这一段距离 应该等于2a 这个记作d1 这个记作d2 d1+d2=2a 根据对称的性质 d1=d2 根据对称的性质 d1=d2 根据对称的性质 d1=d2 两焦点到中心的距离相等 两焦点到中心的距离相等 d1必然等于d2 椭圆关于y轴对称 椭圆关于y轴对称 d1=d2 相加为2a 那么 这个等于a 这个也等于a 这就迈进了一步 另外 这个距离是多少 另外 这个距离是多少 这就是半短轴长 也就是b 这个是要求的半焦距 直角三角形用勾股定理 这是半焦距 在直角三角形内考虑 在直角三角形内考虑 半焦距记作f f2+b2等于斜边平方 也就是d2=a2 得到含b和a的等式 b和a都来自椭圆方程 可以解出 f2=a2-b2 于是 半焦距f=根号(a2-b2) 于是 半焦距f=根号(a2-b2) 非常漂亮 非常直观 也就这两个数之差 用较大的减去较小的 然后开方 得到半焦距 下面看一些求半焦距或焦点坐标的实际问题 下面看一些求半焦距或焦点坐标的实际问题 下面看一些求半焦距或焦点坐标的实际问题 椭圆为(x-1)2/9+(y+2)2/4=1 首先画图吧 先画坐标轴 中心很容易找 是(1,-2) 中心很容易找 是(1,-2) 不懂的可以看前面的视频 中心处x=1 y=-2 长轴在x方向 因为这个较大 a2=9 半长轴长是3 1 2 3 这里 1 2 3 大概是这里 y轴方向 半短轴长是2 开根号 b=2 上面2格 下面2格 换个好颜色 椭圆大概像这样 要求的是焦点坐标 焦点必然位于长轴上 可以求出半焦距 然后加减到中心 坐标就出来了 我说过 半焦距等于根号下这两个数之差 半焦距等于根号下这两个数之差 即根号(9-4) 半焦距为根号5 已知椭圆的中心是(1,-2) 已知椭圆的中心是(1,-2) 这个焦点就应该是(1+根号5,-2) 这个焦点就应该是(1+根号5,-2) 这个焦点则是 (1-根号5,-2) 即中心在x方向加减半焦距 由于是在长轴上 所以只用加减x坐标值 得到焦点坐标 可见 圆锥曲线非常妙 关于焦点有一些有趣性质 关于焦点有一些有趣性质 以后的视频中还会讲到 双曲线和抛物线的焦点 这让圆锥曲线非常棒 之前 我们一直是在学习如何机械地绘图 之前 我们一直是在学习如何机械地绘图 现在才算是体会到了圆锥曲线的美妙之处 现在才算是体会到了圆锥曲线的美妙之处 下一节再会