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主要内容

焦点 & 准线的介绍

一条双曲线是由一堆点组成的,而且每个点与同一个点 (叫做 "焦点") 和同一条线 (叫做 "准线") 为等距离的。看看这个视频来了解更多。

视频字幕

这个视频中,我会讲解两个与抛物线相关的概念。 一个是焦点。 一个是抛物线的焦点, 另一个是准线。 这两个词到底是什么? 抛物线可以被定义为一类点的集合, 我来画两个坐标轴。 垂直的是y轴,水平的是x轴。 这是x轴。 抛物线可以被定义为 点的集合,这个集合中所有的点 到一个定点和一条定直线的距离是相等的。 这个定点就是抛物线的焦点, 这条定直线就是抛物线的准线。 这么说可能不太好理解。 我们在这个坐标系里选一个点。 这个蓝点。 不妨设这个点的横坐标是a, 纵坐标是b。 那么这个点就是(a,b)。 然后再选定一条直线作为准线。 我换一种颜色来表示准线, 我已经用白色画过坐标轴了,准线就不用白色了。 我用紫红色。 现在(a,b)是焦点。 设 y = c 为准线。 就是这条直线, y = c 就是这条直线。 它和y轴的交点的纵坐标是c, 这条直线的表达式就是 y = c。 回到抛物线的定义上来, 到一个定点和一条定直线距离相等的点的集合是什么意思? 先想想哪些点可能在这个集合里。 首先是这个黄色的点, 它位于焦点和准线的正中间。 接着从 x = a 出发, 这个弧线上的点都在上述集合中, 这个弧线就是抛物线。 你可能会对此感到困惑, 不明白为什么这个弧线上的点到焦点和准线的距离相等。 我们来目测一下距离。 首先看这段 这个图是手绘的 所以不是非常精准, 黄色的点到(a,b)的距离与其到 y = c 的距离应该是相等的。 这看起来还是比较准确的。 再来看看抛物线上这个绿色的点, 它到(a,b)的距离和它到准线的距离也应该是相等的。 这个看起来也比较准确。 再看这个点, 这两段的距离 也应该是相等的。 现在或许你们能够明白 “抛物线是到焦点和准线的距离相等的点的集合”这个定义是什么意思了。 这条抛物线上的任意一点, 比如这个点, 都满足到焦点的距离等于到准线的距离 现在你可能意识到, 当你度量点与点之间的距离时, 这两点为端点构成的线段可能跟垂直于准线的直线呈一定角度。 这条线段垂直于准线, 而这条线段是从左上到右下。 但是当你衡量点到直线的距离时, 你是在作垂线, 这幅图中是向下作垂线, 或者当抛物线开口朝下时向上作垂线, 测量垂线段的长度从而得到点到直线的距离 这些都是直角。 以上就是焦点和准线的概念。 每条抛物线都有一个焦点和一条准线, 因为抛物线的定义就是 到某个焦点和某条准线距离相等的点的集合。 这是它的定义所决定的。 在之后的视频中,我们会讲到 如何将抛物线的焦点和准线 和抛物线的方程式联系起来。