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主要内容

不以原点为中心的双曲线方程

Sal分析了公式为 (x-1)^2/16-(y+1)^2/4=1的双曲线,并画出了它的图。 Sal Khan 创建

视频字幕

本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 下面看一些较难的双曲线绘图问题 下面看一些较难的双曲线绘图问题 (x-1)2/16-(y+1)2/4=1 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 首先意识到 这是双曲线 oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 以后有视频专门谈论如何辨别 首先是辨别圆锥曲线类型 第二步才是绘制圆锥曲线 这里我已经说是双曲线了 这里我已经说是双曲线了 之所以是双曲线 是因为y2项前的负号 这里双曲线还经过了平移 没有平移的双曲线 或者说中心在原点的双曲线 同这个形状一样的是 x2/16-y2/4=1 x2/16-y2/4=1 这两个双曲线只是位置不同 这个双曲线的中心处 x=1 y=-1 可以这样考虑 x=1时 这整个是0 所以它是中心 而y=-1时 这整个是0 而这个 中心显然是原点 中心(0,0) 所以简单的方法是 先画这个 然后平移 让中心从(0,0)移到(1,-1) 然后平移 让中心从(0,0)移到(1,-1) 首先求出它的渐近线 然后平移渐近线 使之适用于这个双曲线 然后平移渐近线 使之适用于这个双曲线 看这个 先解出y 我喜欢这样求渐近线 左侧是-y2/4 两侧同时减去x2/16 右侧是-x2/16+1 先看这个双曲线 不是这个 等下再平移 两侧同时乘以-4 得到y2=x2/4-4 得到y2=x2/4-4 于是y=±根号(x2/4-4) 渐近线 也就是x趋于正负无穷大的情况 渐近线 也就是x趋于正负无穷大的情况 也就是x在正向或负向变得很大 我们做过很多次了 很重要 这比死记公式有用得多 因为它能让你理解 渐近线是怎么来的 它就是这个图像在x趋于正负无穷大时的情况 它就是这个图像在x趋于正负无穷大时的情况 x趋于正负无穷大 y约等于多少 还是这一项占据主导 4忽略不计 想一下 x可以是1万亿之大 相比之下 想一下 x可以是1万亿之大 相比之下 4完全可以忽略不计 开根号 这一项占主导 x趋于正负无穷大时 y约等于正负根号(x2/4) y约等于正负根号(x2/4) 即 y≈±x/2 下面把渐近线画出来 记住 这是这种情况的渐近线 而这里中心是(1,-1) 所以要画的渐近线 斜率为+1/2和-1/2 但其中心在这一点 这里求渐近线时 没管平移 但实际的绘图中 要考虑平移 但实际的绘图中 要考虑平移 这是y轴 这是x轴 而图像的中心是(1,-1) x=1 y=-1 渐近线斜率是±1/2 先看+1/2 即右移2 对应上移1 即右移2 对应上移1 右2上1 过这一点 渐近线画出来 是这样 然后再这样画一下 手不要抖 另一条渐近线斜率为-1/2 记住 这是中心(1,-1) 右移2 对应下移1 这里 画出渐近线 这一边也一样 两者重合 这一边也一样 两者重合 大概是这样 渐近线这就画好了 下面看双曲线是上下开口 还是左右开口 下面看双曲线是上下开口 还是左右开口 简单的方法是… 有两种方法 如果看这个式子的话 取正平方根时 总稍微处于渐近线下 渐近线是这个 曲线总在其下一点 这说明曲线上 正平方根总在这条渐近线下 负平方根总在这条渐近线上 因为这里稍微小一点 这是负的 想想这个 所以 我觉得是这里和这里 我确定是如此 这不仅仅是直觉 我确定是如此 这不仅仅是直觉 这里 我要用另一种方式确认 另一种方法是 这一项何时为0 这一项为0时 x应该是1 这可能吗 x能为1吗 x=1时 这一项是0 于是-(y+1)2/4=1 这需要是负数 这不可能 所以 x不能是1 而y可以是-1 y=-1时 这一项没了 y=-1时 -1+1=0 没了 此时有 (x-1)2/16=1 此时有 (x-1)2/16=1 这是y=-1时 这一项消掉的情况 这是y=-1时 这一项消掉的情况 两侧同时乘以16 写到这里 有点乱 (x-1)2=16 两边同时开根号 x-1=±4 x-1=4时 x=5 x-1=-4时 x=3 x-1=-4时 x=3 所以离中心最近的两点是 (5,-1)和(3,-1) 画出来 这是(5,-1) 然后是(3,-1) 对吗 不对 是-3 因为x-1=-4 这就是省略步骤的后果 x-1可以是4或-4 -4的情况下 x=-3 (-3,-1)在这里 这两点在双曲线上 可见 刚才我讲的是对的 正平方根总是略低于渐近线 正平方根总是略低于渐近线 曲线是这样 逐渐逼近 这里也是一样 逐渐逼近 这里也是一样 逐渐逼近渐近线 这一支也是一样 两边都逐渐靠近渐近线 当然 渐近线也是无限延伸的 有兴趣的话 还可以多画一些点来确认 有兴趣的话 还可以多画一些点来确认 有兴趣的话 还可以多画一些点来确认 难点在于确认渐近线 以及求出双曲线的开口方向 以及求出双曲线的开口方向 之后的绘图就简单了 再会