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主要内容

展开方程中的圆锥曲线:圆和抛物线

Sal变换方程 x^2+y^2-3x+4y=4,来确定它代表一个圆, 并且变换方程 2 x ^ 2 + y + 12 x + 16 = 0,以确定它代表一个抛物线。 Sal Khan 创建

视频字幕

再看一些圆锥曲线辨别问题 再看一些圆锥曲线辨别问题 问题是x2+y2-2x+4y=4 首先要知道的是 圆锥曲线的类别 这里有x2项和y2项 它们在方程一侧 而且系数都为正 所以这是一个椭圆 而这里 两者系数相等 都是+1 所以这是一个圆 下面化成标准形式 然后画出图像 配方 含x的项放在一边 x2-2x+配方需要的数 含x的项放在一边 x2-2x+配方需要的数 加上含y的项 y2+4y+某数 等于4 然后加上什么呢 -2的一半是-1 平方 得到1 外面没有系数 等式左侧确实只加了1 右侧也需要加1 这里4的一半是2 2平方是4 这里是4 右侧也需要同时加4 这外面没有系数 确实加的是4 这外面没有系数 确实加的是4 于是(x-1)2+(y+2)2=4+1+4=9 于是(x-1)2+(y+2)2=4+1+4=9 这就是圆的标准形式了 记得吧 原点为中心的圆 标准形式是x2+y2=r2 9就是r2 半径的平方 所以半径是3 这里圆经过平移 中心从(0,0)移到(1,-2) 这里圆经过平移 中心从(0,0)移到(1,-2) 为什么是(1,-2) 想想这整个式子何时为0 这里x=0时为0 这里x=1时为0 这整个何时为0 这里y=0时为0 这里y=-2时为0 所以(1,-2)为圆心 3是半径 下面来画图 这是坐标轴 也许我该先画圆的 好 画圆 圆心是(1,-2) 下面这里 圆从这里开始 这是1格 这是2格 画的很接近了 圆心(1,-2) 画的很接近了 圆心(1,-2) 半径是3 任意方向距离都是3 3 都是3 很好 问题不难 圆是最简单的 我还说它是椭圆 但这不是椭圆的标准形式 复习下 两侧同时除以9 会怎样 复习下 两侧同时除以9 会怎样 得到(x-1)2/9+(y+2)2/9=1 这样 横半轴长是3 这样 横半轴长是3 这样 横半轴长是3 纵半轴长也是3 到图像上的距离总保持不变 这就是圆 再看一题 趁热打铁 2x2+y+12x+16=0 看x2和y2项 这是x2项 没有y2项 没见过 这就是第四种圆锥曲线 第一个视频中我提到过 也就是抛物线 为什么 抛物线大家很熟悉 以后我会详细讲解 抛物线大家很熟悉 以后我会详细讲解 所有点到定点和定直线距离相等什么的 所有点到定点和定直线距离相等什么的 最简单的抛物线是y=x2 最简单的抛物线是y=x2 大概是这样 其最小值点 或者说顶点 在原点 抛物线也可以是x=y2 大概像这样 也就是上面那个倒下来 顶点还是在原点 这里知道它是抛物线是因为 有y和x2项 两者次数不同 没有y的二次项 为了让它看起来更熟悉 把y放到等式的一边 得到y=-2x2-12x-16 这是最熟悉不过的形式了 用这个可以找到零点 算一下吧 用这个可以找到零点 算一下吧 看什么时候 函数和x轴相交 y=0时 和x轴相交 有-2x2-12x-16=0 一般我们是直接配方 一般我们是直接配方 不过 这里我想先求一下零点 首先把-2提出 有-2(x2+6x+8)=0 首先把-2提出 有-2(x2+6x+8)=0 因式分解 有-2(x+2)(x+4)=0 整个是0 要么这个为0 要么这个为0 要么x+2=0 要么x+4=0 x=-2或x=-4 这就是抛物线的两个零点 一下就能看出它是抛物线 之前的代数课程中大家也见过 画图的话 与x轴交点是(-2,0)和(-4,0) 画图的话 与x轴交点是(-2,0)和(-4,0) 这就是我们求的 下面进行圆锥曲线的一般处理 配方 下面进行圆锥曲线的一般处理 配方 找到更多抛物线的信息 配方 重写一下 y=… 看这个方程 只看含x各项 提出-2 -2(x2+6x+某数) 外面是-16 要得到完全平方式 这里需要是6一半的平方 即3的平方 也就是9 这里加了9 相当于 右侧加了9?(-2) 也就是减了18 左侧也需要-18 这里减18 于是有y-18=-2(x+3)2-16 于是有y-18=-2(x+3)2-16 然后就能得到我们认识的圆锥曲线形式了 然后就能得到我们认识的圆锥曲线形式了 两侧加上16 有y-18+16 两侧加上16 有y-18+16 即y-2 加个括号 等于-2(x+3)2 干嘛要写成这样呢 因为这和其它圆锥曲线的写法保持一致 因为这和其它圆锥曲线的写法保持一致 y=x2大家都会画 大概是这样 先画坐标轴 y=x2大概是这样 一条顶点或最小值点为原点的抛物线 顶点就是最小值点或最大值点 顶点就是最小值点或最大值点 微积分中 比较关心这个 微积分中 比较关心这个 你懂的 U形的底部或顶部 y=-x2呢 可以先画一些点 结果大概是这样的 y=2x2呢 和y=x2很像 只不过上升是其2倍快 大概是这样 顶点在原点 而y=-2x2 大概像这样 而y=-2x2 大概像这样 开口向下 下降2倍快 而我们得到的这个式子 形状和y=-2x2一样 形状和y=-2x2一样 只是顶点 由原点平移出来 只是顶点 由原点平移出来 注意到 让这一项为0的y值为2 对比这里 这一项为0时 y=0 因为是原点 而这里 这一项为0时 x=-3 这样 我们就知道顶点位置了 即x=-3 y=2处 x方向1 2 3 y方向1 2 这里 之前已经求出了y=0的两点 不过就算不知道这两点 我们至少知道 它和y=-2x2形状相同 开口向下 像这样 而且比y=-x2下降要快 所以大致是这样 它肯定会过这两点 好了 所有圆锥曲线都讲到了 下面两节 我将深入挖掘 圆锥曲线背后的理论 以上这些视频 对大家考试应该会很有帮助 以上这些视频 对大家考试应该会很有帮助 再会 本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org