展开方程中的圆锥曲线：椭圆

本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 代数中很常见的问题是 给出方程 代数中很常见的问题是 给出方程 然后问曲线类型 并要求绘图 而且给出的方程不是标准形式 因为标准形式很容易就能看出 我在之前的课程中讲过 下面我们做一个类似的问题 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 方程为9x2+4y2+54x-8y+49=0 方程为9x2+4y2+54x-8y+49=0 oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 注意 这不是标准形式 注意 这不是标准形式 最容易找到的线索在x2和y2项 最容易找到的线索在x2和y2项 只有x2项和y项没有y2项的是抛物线 只有x2项和y项没有y2项的是抛物线 以后我会讲的 或者只有x项 和y2项的 也是抛物线 而圆 椭圆 双曲线的情况中 会同时有x2和y2项 如果两者的系数相同 方程应该是圆 如果系数不同 但同时为正 则应该是椭圆 如果一个的系数为负 另一个系数为正 则应该是双曲线 这确实有助于快速辨别 这确实有助于快速辨别 但对于画图帮助不大 下面写成标准形式 要写成标准形式 关键在于配方 要写成标准形式 关键在于配方 大家可以复习下配方的视频 这在化成标准形式时很重要 这在化成标准形式时很重要 要配方 首先需要将x和y变量分开 要配方 首先需要将x和y变量分开 要配方 首先需要将x和y变量分开 含x的项有9x2+54x 含y的项用洋红表示 +4y2-8y 然后 换种颜色 +49=0 配方时 最简单的方法是 先提出前面的系数 这里提出9 这里提出4 这对配方很有帮助 这是9(x2+6x) 这里还要加一些什么 现在先空着 +4(y2-2y) 这后面也有东西 先预留 +4(y2-2y) 这后面也有东西 先预留 +49=0 这里加什么才能完成配方呢 加上这个数字后 这三项得到完全平方式 加上这个数字后 这三项得到完全平方式 同理 这里加个数字后 这三项也得到完全平方式 当然 不管加什么 这里都要乘以9 当然 不管加什么 这里都要乘以9 然后加到这边 这里不管加什么 都要乘以4 加到这边 这里如果是1 这上面就多了4 1?4=4 而这里如果是1 1?9=9 下面来配方 配方时 取一次项系数的一半 系数是6 一半是3 平方 得9 记住 等式两侧需要同时运算 记住 等式两侧需要同时运算 这里加9 相当于加了9?9 即等式左侧加了81 右侧也必须加上81 方程才成立 你可以看这里 这相当于加了81 这相当于加了81 显然 这边也要加81 再看含y的项 取一次项系数的一半 -2的一半是-1 平方 得到+1 1?4 所以方程左侧加了4 这里也要加4 讲明白一点 这相当于上面加了4 因为提出了一个4 这里也要+4 得到什么 这个表达式是9乘以什么 提出9后 有(x+3)2 加上 4倍的(y-1)2 相关内容详见配方那一节 相关内容详见配方那一节 然后加49 等于81+4=85 于是9(x+3)2+4(y-1)2 两侧同时减去49 等于… 85-50是35 这里是减49 所以得36 这离标准形式很近了 由于这不是一个圆 由于这不是一个圆 因为这些前面系数不同 因为这些前面系数不同 所以需要让右侧等于1 两侧同时除以36 得到(x+3)2/4+(y-1)2/9=1 得到(x+3)2/4+(y-1)2/9=1 得到(x+3)2/4+(y-1)2/9=1 得到(x+3)2/4+(y-1)2/9=1 这就是标准形式了 一开始讲的是对的 这是一个椭圆 我来画图 首先 找椭圆的中心 首先 找椭圆的中心 中心处 x=-3 什么x值让这整个为0 显然是x=-3 而y=1 什么y值让这整个为0 显然是y=1 这是中心 画出来 中心在第二象限 这是x轴 这是y轴 椭圆中心是(-3,1) 椭圆中心是(-3,1) x方向的半轴长是多少 这个开根号 也就是2 x方向往右2格 往左2格 y方向呢 上下都是3 根号9 画出来 往上3格 这里 往下3格 这里 记住 4和9要开根号 纵向是半长轴 其长度为3 它较长 2是半短轴长 较短 然后画椭圆 用棕色 但愿能画好 我有些手抖 很好 大概就是这样 这么一个复杂的式子 通过代数运算 完成了x和y诸项的配方 然后两侧同时除以一个数 得到标准形式 知道这是椭圆 两项都为正 是加而不是减 而且下面的系数不同 所以这是椭圆 且中心为(-3,1) 画出长轴和短轴 搞定 再会