展开方程中的圆锥曲线：双曲线

再看一个圆锥曲线辨别问题 本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 4y2-50x=25x2+16y+109 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 首先还是将含x和y的项分别列出来 首先还是将含x和y的项分别列出来 常数项全部留在另一侧 oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 左侧有4y2 这一步 就把含x和y的项分开 4y2 然后16y移到左侧 两侧同时减16y 左侧有-16y 右侧则没有了 然后两侧同时减去25x2 有-25x2-50x 这里 109则留在右侧 等于109 此时 所有x和y在一侧 我们能看出个大概 x2和y2在一侧 具有不同系数 且一个正一个负 这告诉我们 它是双曲线 下面配方 求标准形式 配方最简单的办法是 让平方项系数为1 这里提出4 有4(y2-4y) 后面还需要加某数 才能完成配方 -25(x2+2x) 后面还有要加的 等于109 -25(x2+2x) 后面还有要加的 等于109 加上这些之后 就能使式子成为完全平方式 加上这些之后 就能使式子成为完全平方式 这里是-4 取其一半… 配方的方法详见配方那一节 配方的方法详见配方那一节 这里是-4 取其一半 有-2 然后-2平方得4 等式两侧需要同时加减 等式两侧需要同时加减 左侧其实加的不是4 而是4?4 因为外面还有一个4 左侧加了16 右侧也要加16 也就是 这里加16 这更清楚 提出4 就是4 这里也加16 这里 取这个数的一半 2的一半是1 平方还是1 但左侧加的不是1 而是1?(-25) 所以这里也要-25 放到上面也就是 左侧减25 右侧同时减25 然后得到什么 含y项变成4(y-2)2 这一步看不懂的 可以参见因式分解视频 这一步看不懂的 可以参见因式分解视频 -25(x+1)2 也就是这个 等于109+16-25=125-25=100 基本搞定 右侧需要是1 两侧同时除以100 得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1 得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1 得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1 得到(y-2)2/25-(x+1)2/4=1 这就是标准形式 显然它是双曲线 下面绘图 首先看中心 其中心是(-1,2) 其中心是(-1,2) 下面求双曲线的渐近线 我总这么做 我不喜欢记公式 以原点为中心的双曲线是这样的 y2/25-x2/4=1 写这个是为了方便求渐近线斜率 写这个是为了方便求渐近线斜率 这种方程更好处理 这种方程更好处理 两侧同时乘以100 和刚才做的正好相反 算了 干脆两侧只乘以25得了 有y2-25/4x2=25 再写到这里 两侧同时加25/4x2 有y2=25/4x2+25 y=正负根号(25/4x2+25) y=正负根号(25/4x2+25) 双曲线总不会与渐近线相交 双曲线总不会与渐近线相交 只会在x趋于正负无穷时逼近渐近线 只会在x趋于正负无穷时逼近渐近线 这是极限的概念 不过这里并不难懂 这是渐近线的基本思想 x趋近正负无穷 图像逐渐逼近渐近线 x趋近正负无穷 图像逐渐逼近渐近线 这个常数项越来越无关紧要 因为这一项太大 所以y约等于正负根号下这一项 所以y约等于正负根号下这一项 也就是±5/2x 这是中心为0时的渐近线 而实际中心是(-1,2) 画图吧 而且可以看出 这是上下开口的 而且可以看出 这是上下开口的 中心是(-1,2) 这是y轴 这是x轴 中心是(-1,2) 这里 而这是以原点为中心的渐近线方程 而这是以原点为中心的渐近线方程 平移后斜率不变 渐近线过双曲线的中心 渐近线过双曲线的中心 这里求出渐近线斜率为±5/2 这里求出渐近线斜率为±5/2 +5/2表示 横移2 对应上移5 所以是这里 两点决定一条直线 直线像这样 另一条渐近线斜率为-5/2 右移2 对应下移5 往右2格 往下5格 最后到这里 渐近线像这样 很好 这是两条渐近线 两端都无限延伸 之后有两种考虑方法 看这个中心在原点的 这时x可以是0吗 当然可以 x=0时 y2/25=1 y2=25 y=±5 所以这里 这个可以为0 所以 这里x可以是-1 x=-1时 (y-2)2=25 我算一下 x=-1时 这个式子变成什么 写在这里吧 有(y-2)2/25-0=1 有(y-2)2/25-0=1 所以(y-2)2/25=1 (y-2)2=25 这是两侧同时乘以25 两侧同时开方 y-2=±5 两侧同时开方 y-2=±5 y-2等于+5或-5 两侧同时加2 这是y=7 两侧同时加2 这是y=-3 所以 (-1,7)和(-1,-3) 都在图像上 -1在这里 往上7格 (-1,7)在这里 然后是(-1,-3) 都在图像上 由此我们知道 开口是上下方向 或者直接看y2项为正 另一种考虑方法是 看正平方根 它始终高于渐近线 看正平方根 它始终高于渐近线 这样看也行 它总比… 这是正平方根 上面这支 它总比渐近线高一些 这是渐近线 稍高于渐近线 显然 随着数字增大 常数项显得更小 图像大致是这样 往下 然后往上 不会挨到渐近线 但会逼近 很靠近渐近线 然后下降 朝这个方向 希望对大家有帮助 这个问题稍微复杂一些 应该会有启发