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主要内容

双曲线简介

Sal介绍了双曲线的标准方程, 以及如何使用它来确定双曲线的顶点和方向。 Sal Khan 创建

视频字幕

下面学习双曲线 本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 在所有圆锥曲线中 这一类是最让人困扰的 它不像圆和椭圆那么简单 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 代数运算更复杂 希望通过课程的学习 能让大家更好地理解双曲线 同时体会到双曲线的乐趣 首先回顾一下 圆锥曲线公式的相似性 oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 首先回顾一下 圆锥曲线公式的相似性 圆心在原点的圆 方程是 x2+y2=r2 这个还可以写成这样 这是为了让大家理解 圆是特殊的椭圆 这一概念 两侧同时除以r2 有 x2/r2+y2/r2=1 这是圆 圆上所有点到圆心的距离相等 圆上所有点到圆心的距离相等 或者说 长半轴和短半轴等距 或者说 长半轴和短半轴等距 或者说 长半轴和短半轴等距 到中心的距离总是相等 这是圆 椭圆和这类似 只是这两个数不需要相等 到中心的距离可以是变化的 x2/a2+y2/b2=1 这是椭圆 抛物线 这里我就不提了 也很有趣 我们接触过 不过这一类以后我们再细讲 再看双曲线 公式和这很像 双曲线有两种 我都写下 可以是x2/a2-y2/b2=1 可以是x2/a2-y2/b2=1 这和椭圆方程的差别 仅仅是y2项前的符号 这是一种双曲线 双曲线还可以是这样的 y2/b2-x2/a2=1 此时负号在x2项 而非y2项 那么 如何画出这些双曲线呢 那么 如何画出这些双曲线呢 有两种情况 很多教科书或网站 喜欢给公式 不过我不喜欢公式 因为容易忘记 不过我不喜欢公式 因为容易忘记 我们希望更好记的东西 我们希望更好记的东西 而且 这容易把人搞迷糊 而且 这容易把人搞迷糊 公式中有时x这里总用a y这里总用b 而有时公式中 正项总用a 负项总用b 如果强记 a/b是渐近线斜率 也许会弄错a和b 我建议大家用时重新证下 我演示下 不会太麻烦 这两者都是双曲线 针对双曲线 我倾向于求出y 这里 两侧同时减去x2/a2 换个颜色 得到-y2/b2 等于1-x2/a2 然后去掉这个负号 同时去掉b2 两侧同时乘以-b2 左侧乘以-b2后 -b2这些消掉 得到 y2=-b2+b2/a2x2 y2=-b2+b2/a2x2 y2=-b2+b2/a2x2 基本搞定 于是y等于… 这里是± 因为平方根可正可负 这里是± 因为平方根可正可负 这两项换一下 正项放在前面 b2/a2x2-b2 原来本来很简单的 我干嘛弄得这么复杂呢 记住 这里是要求渐近线 这能给大家一些直观感觉 另一种抛物线也要相同处理的 双曲线有两条渐近线 这是x轴和y轴 渐近线是双曲线逐渐逼近的直线 这是两条渐近线 两者斜率总是符号相反 一会就会知道 抛物线要么是这样 趋近无穷时 抛物线要么是这样 趋近无穷时 抛物线两端不断逼近直线 这一支是这样 画得不好 不会碰到渐近线 它会无限接近渐近线 这是一种情况 向左右两侧开口 要么它还可以是上下开口 趋近无穷的过程中 曲线越来越接近渐近线 但不会碰到 曲线越来越接近渐近线 但不会碰到 x无限大后 会无限接近 x无限大后 会无限接近 想知道这是哪种 想想x趋于无穷大的情况就行了 x趋于无穷大 或者负无穷大也行 写成±∞吧 没关系 反正x总是要平方的 趋近±∞时 这个数字会越来越大 趋近±∞时 这个数字会越来越大 这是极限的知识 不过应该很好理解 这一项变得很大 而这一项是常数 大小不变 所以 当x趋于无穷时 这个变得很大很大 y约等于… 不这样写 约等于 这表示并非完全相等 x趋于无穷 y约等于 ±根号(b2/a2x2) 而这个开根号 这个无法开出来 但这个行 等于±b/ax 这就是两条渐近线 一条渐近线的斜率是b/a 这是y=+b/ax 另一条是y=-b/ax 我准备讲一些例子 这样会更清楚些 这就求出了两条渐近线 y=+b/ax是一条 这一条 这一条渐近线是y=+b/ax 看得清吧 下面这条渐近线是y=-b/ax 下面这条渐近线是y=-b/ax 这就是两条渐近线 还需要知道抛物线是上下还是左右开口 还需要知道抛物线是上下还是左右开口 这有两种做法 一种是 看这个近似表达式 x趋于无穷时 约等于这个 不过哪怕是x趋于无穷 这个仍然略小于渐近线上的值 因为减去了一个正数 因为减去了一个正数 整个开根号 第一象限中 这比渐近线上的值要小 第一象限中 这比渐近线上的值要小 我喜欢这样来看 其它象限有些麻烦 不过至少第一象限中 其它象限有些麻烦 不过至少第一象限中 曲线始终比渐近线低一些 所以是从下面逼近 这意味着曲线是这样的 这意味着曲线是这样的 向右开口 自然还向左开口 向右开口 自然还向左开口 另外还有一种方法 估计更容易懂 即考虑原方程中 x和y谁可以等于0 左右开口时 x不可能为0 但y可以为0 这两点处 x是不能为0的 这也是绘图的方法 代入y=0求这两点 这可以看原方程 显然也可以看这个方程 x可以是0吗 x=0时 这整个没有了 x=0时 这整个没有了 剩下根号(-b2) b2是正数 前面有个负号 所以是负数 负数开方没有意义 不考虑虚数 所以x不为0 而y可以是0 令y=0 可以解出x 我们求一下 y=0时 0=根号(b2/a2x2-b2) y=0时 0=根号(b2/a2x2-b2) 两侧同时平方有 b2/a2x2-b2=0 两侧同时平方有 b2/a2x2-b2=0 有点乱 然后b2/a2x2=b2 两侧同时除以b2 约掉是1 然后两侧同时乘以a2 有x2=a2 x=±a 所以这个点是(a,0) 这个点则是(-a,0) 还有另一种双曲线 我好像是超时了 注意到 x项为正时 抛物线左右开口 注意到 x项为正时 抛物线左右开口 通过推理 y项为正时 也就是这种情况 肯定是上下开口 下面证明一下 解出y 有y2/b2… 两侧同时加上x2/a2 等于x2/a2+1 两侧同时乘以b2 y2=b2/a2x2+b2 b2乘到各项 然后开根号 换个颜色 y=±根号(b2/a2x2+b2) y=±根号(b2/a2x2+b2) 位置好像不够了 还是可以进行x趋于正负无穷的讨论 这里的常数项无关紧要 这里的常数项无关紧要 这一项开根号得到 y=±b/ax 两条渐近线和原来一样 再画一次 这个和这个 不过这种情况下 它总比渐近线大 第一象限中 会在上面这里 然后下面这里 另一种考虑方法是 这种情况下抛物线上下开口 所以x可以为0 而y永不为0 这也说得通 看一下最初的方程 x可以为0 x=0时 这个没了 可以求出y 但如果y=0 -x2/a2=1 于是x2=-a2 于是x2=-a2 这里不考虑虚数 负数不能开方 这是不可能的 这是另一种判别开口方向的方法 这种情况下 y总不为0 讲得有点抽象 一直用b和a这些 下一节 我将讲到一些实际数例 下一节 我将讲到一些实际数例 再会