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主要内容

圆和双曲线的共同切线 (第一部分)

2010年IIT JEE测试第一页问题45: 已知一个圆和一个双曲线,找到它们的共同切线的方程。 Sal Khan 创建

视频字幕

这个圆,x平方 + y平方 - 8x =0, 这个抛物线,x平方/9 - y平方/4 =1 两者在 A 和 B 点相交, 斜率为正数的这个圆和抛物线的公切线的方程是-- 我们先来看一下,题目的要求是什么。 这个问题会需要我们用几个视频来求解, 我有这个感觉。 我们先来观察一下, 对这个问题在脑子里有所理解。 这个圆,我们先完成用 x 表示的平方, 这个圆,题目把它写成 x平方 - 8x, 然后,加上 y平方, 我在这里留下点空间, 我们就能把平方写出来,--等于 0, 我们把这一项, 8 的一半的平方加在两边。 -8 的一半是 -4, -4 的平方是 16, 两边加上 16, 这就使得我们可以把 x 项,变成一个完美的平方, 这就是 (x-4)平方, 然后加 y平方, 加 y平方等于 16, 这是一个圆, 这是一个圆心在 x= 4 的一个圆。 在 x=4 , y=0 它的半径是 也是4。 我把这个圆的图像画出来。 我画出水平轴,我的 x 轴, 画出 y 轴, 这就是我的 y 轴, 我画出圆心, 1,2,3,4, 4 , 0 。 这是圆心,它的半径是 4, 它画出来就是这样, 我可以把这个圆 画得更好一点, 它就应该看起来是这样的,上半圆, 下半圆 应该是这样, 这就是我们的圆。 现在我们考虑一下这个抛物线, 我们看到, x 平方项是正的, 它就应该是 开口向右和向左的抛物线。 在圆锥那一部分,我们做过不少, 你们可以复习一下。 我们先找出它和 x 轴的交点, 当 y 等于 0 时,我们有 x平方/9 等于 1, 或者 x 就是正负 3, 这样抛物线就是这样的。 这就是在 3,0。 这个抛物线就是这样。 在 1,2,3, -3,0 这个抛物线开口向左。 题中所说的 A 和 B, 可能就是指的这个点A和这个点B, 我们来考虑一下问题的要求, 斜率为正公切线的方程-- 它一定要有正的斜率, 圆和抛物线的公切线要有正的斜率。 我们来考虑一下, 它要有正的斜率, 它不会与圆 在任何有负斜率的点与它相切。 这里不可能有切点。 这里不可能相切, 这样,我们可以说 如果它和圆在这里相切,会怎样呢? 它就不能与抛物线相切。 所以它必须与圆 在这里的这个蓝色区域某个地方相切。 那么它怎样与抛物线相切呢? 可以说, 它可能与抛物线这样相切, 你需要认识到 抛物线渐进于某条线。 我们能够找到这条线在哪里。 它渐进于某条线, 我们画出这条线,这条渐近线, 这个抛物线总是比这条线有更高的斜率, 斜率稍微高一些, 它慢慢接近这条线, 从这里看,抛物线比 渐近线的斜率要高, 如果一定要与它相切, 你必须有更高的斜率。 从圆这一部分出发 到抛物线的任何直线 都比切线斜率要低。(都比渐进线斜率要低--译者) 对吧? 因为它会赶上, 这个切线要赶上这条直线,(这个渐近线会赶上这条直线--译者) 不管怎样,我再把它画出来, 对于我所画出的, 我想讲明白, 这条抛物线,这里, 其实这一部分的全部, 都会具有比 渐近线更高的斜率, 这就使它离这条线越来越近, 任何切线 都要具有更高的斜率。 任何抛物线的切线 都要有 比这条线有更高的斜率。 都要具有更高一点的斜率, 所以我们在这里取一点, 并试图从圆的这一部分画出一条切线, 是做不到的。 因为根据切线的定义, 要想与抛物线相遇, 会有比渐近线低的斜率, 它不可能与抛物线的这一部分相切。 我们还有什么其他的办法? 只有抛物线的另一部分, 或许从它我们能找到答案, 就是抛物线的这一部分, 如果我们能找到一条线, 或许这里和抛物线上这里, 或许我们能发现它们的斜率为正的公切线。 我们画出来, 我们的斜率为正的公切线, 我用粉红色, 我们的斜率为正的公切线可以是这样的, 现在我们已经对它有了一定的观察, 在下一个视频中,我们再找出答案。 这条切线是什么样,特别是 我们给它约束,它必须与圆相切 还要与抛物线相切。