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圆和双曲线的共同切线 (第二部分)

2010年IIT JEE测试第一页问题45:圆与双曲线共同正切线 第二部分. Sal Khan 创建

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视频字幕

好了,现在我们对这条斜率为正的公切线 已经有了一点图像上的感知 让我们试着列出这条公切线需要满足的条件, 尤其是它的斜率和 y 截距需要满足的条件。 我在上一个视频中画出的这条线 这条粉色的线 —— 它的表达式是 y 等于 mx 加 b。 这条线的斜率是 m,y 截距是 b。 现在我们来看看 m 和 b 需要满足什么条件, 这条线才会与圆相切。 你或许会想使出微积分 来求出过圆上任意点的切线的斜率。 但这里还有更容易的解法。 你只需要意识到:一条线要和一个圆相切的话, 它和那个圆就只有一个交点。 让我在图上再解释一下。 这是那条直线。 我的计划是求 这条直线与这个圆的交点。 这是我们这个视频的重点。 然后,我们会对双曲线做一样的事情。 所以我们的直线方程是 y 等于 mx 加 b。 而圆的方程 —— 条件告诉我们是: x 方加 y 方减 8x 等于0。 所以圆的方程是 x 方加 y 方减 8x 等于 0。 我们可以利用 这个 y 的表达式。我们可以用它消去这里的 y。 然后我们就能写出 m 和 b 需要满足什么条件, 直线和圆的交点才会只有一个解, 也就是两者只有一个交点。 所以首先呢 —— 我们应该先消去 y 方。 如果 y 等于这个式子,让我们把它两边平方 就得到 y 方的表达式。 我实际上就是在平方这条直线的表达式。 y 方等于 m 方 x 方 加 2mbx,再加 b 方。 我刚才做的是把这个表达式两边平方, 我这么做是为了用这一整串表达式 替换这里的 y 方。 于是我们要求的交点的横坐标所要满足的式子 就将是 x 方加上这一大串, 也就是 y 方。 加 m 方 x 方,加 2mbx,加 b 方, 再减去 8x 等于 0。 如果我们把它写成关于 x 的二次方程, 就像这样 —— 我们的 x 平方项有这两个。 我们可以把它们合并成—— 我们可以把它们合并成 m 方与 1 的和乘以 x 方,对吧? m 方与 1 的和乘以 x 方。 然后,我们的 x 项有这个和这个。 合并后得到 2mb 减 8 的差乘以 x。 然后就剩下这个只含 b 的项 —— b 方,这个常数项。 让我用橙色来写它。 加 b 方,等于 0。 假如 m 和 b 是已知的,假如我们知道这条直线的方程, 这就将是一个单纯的二次方程。 你可以用二次方程的求根公式 来求出 x 的值 —— 也就是交点的横坐标。 这里的妙处在于,我们知道它们 只能有一个交点。 回忆一下,二次方程的求根公式 —— -b 加减根号下 b 方减 4ac, 最后再除以 2a。 注意不要把这里的 b 和表示 y 截距的 b 弄混。 这是二次方程求根公式里的 b。 这是二次方程的求根公式。 它只有一个解,当且仅当 这个式子等于 0。 因为你只是在加减 0 而已, 这样你就只会得到一个解。 当一条线与一个圆相切时, 它们只能有一个交点。 或者你也可以反过来想 —— 为什么这个方程只会有一个解呢? 因为,假如这条线不是切线, 假如这条线不是切线的话,会有两种可能。 要么这个方程有 2 个解,此时, 这个式子为正;要么就完全没有交点, 此时这个方程无解, 也就意味着 b方减 4ac 为负。 而我们已知这是一条切线。 那么我们就只有一个解,或者说 b方减 4ac 等于 0。 所以 b 方减 4ac 在这里怎么表示? 当我们把这个式子看作二次方程时, 这就相当于 b。 再次提醒,请不要把这里的 b 和表示 y 截距的 b 弄混。 我考虑的是此处这个二次方程。 那么我们动手吧。 先把这个式子平方。 我接下来会重写这个式子, 并要求它等于 0, 因为我们知道二次方程只有一个解。 于是我们有:2mb 减 8 的差的平方 再减去 4 乘以 a, 也就是 m 方加 1 的和,再乘以 c,也就是乘以 b 方。 这个式子需要等于 0, 才能使得直线是圆的切线。 让我们看看能从这等式推导出 什么有趣的结果。 我们可以先试着把 b 写成 一个关于 m 的函数。 说干就干。 让我看看。 如果我们把这个式子展开,就会得到 4 倍的 m 方… 让我用相同的蓝笔来写, 好让你们看清对应关系。 这一部分展开后变成 4 倍的 m 方 b 方 减去 2 乘以 -8 也就是 -16, 然后再乘以 2,也就是 -32 倍的 mb, 最后再加上 64。 这个平方展开完毕, 再把剩下的括号也去掉。 减去 4 倍的 m 方 b 方,再减去 4 乘以 1 乘以 b 方。 这整个式子要等于 0。 我们运气不错,有些项互相消掉了。 4 倍的 m 方 b 方, 减去 4 倍的 m 方 b 方。 我们再看一下, 实际上我们可以对方程两边同除以 4, 得到 -8mb 加上—— 统统除以4——加上 16 再减去 b 方 等于0。 现在我们可以用 m 来表示 b, 还是用二次方程求根公式。 这样我们就能得到一个约束条件, 或者说,我们相当于知道了我们的 y 截距如何 用我们的斜率来表示。 然后我们可以对双曲线做一样的事情。 我们可以说, 由于这是同一条直线,所以 y 斜率 应该保持不变。 然后我们就能解出斜率。 就这么干。 这是我们下面几个视频的计划。 现在让我来把这个式子写成我们认识的形式。 这就相当于… 让我们对这个方程左右两边 同乘以 -1。 得到 b方 加 8mb 减 16 等于 0。 我只是对方程两边同乘以了 -1, 并做了移项处理。 现在我们可以用 m 来表示 b 了。 所以 b 就等于 -8m 加减 根号下 8 方 m 方减 4ac —— 这里的 a 是 1,c 是 -16 —— 减去 4 倍的 -16。 你可以把它看成加 4 乘以 16。 最后整体除以 2a。 这里 2a 是 2。 整体除以 2。 化简一下,等于 -8m 加减 —— 这里等于 64。 这也等于 64。 所以你可以把 64 提出来, 开根号后, 得到 8 乘以根号下 m 方加 1。 如果你把 8 放回到根号下面, 它就变成了 64。 64 乘以 m 方再加上 64, 与原来根号下的式子相符。 整体再除以 2。 这里我们还可以约分。 得到 -4m 加减 4 乘以 根号下 m 方加 1。 这就是 b 可能的取值, 假如这条线与圆相切的话。 现在让我们再思考一下。 如果我们加上 4 倍的这个式子,我们就会得到 —— 让我们再想想看。 看回我们刚才这条线是怎么画的 —— 我们需要它的斜率为正。 为了满足这一点 —— 我是这么画的 —— y 截距必须也为正。 让我在这里标出来, 这里 b 为正,y 截距为正。 所以我们需要一个正值, 我们需要一个正的 y 截距。 与此同时,m 也得是正数。 因为条件要求我们找 斜率为正的直线。 所以 m 为正。 所以 -4m,这一项为负。 于是我们要使整个式子取正值, 就只能再加上 4 倍的这个式子。 实际上,如果你仔细看看, 就会发现结果的确为正,因为它比 m 方大。 所以它开方后就比 m 大, 所以 4 倍的它就会大于 4m。 所以如果我们取加号的话,的确会得到正值。 于是我们就只用考虑 b 等于 -4m 加上 4 倍的根号下 m 方加 1。 我们就先做到这里。 在下一个视频中,我们会对双曲线做一样的操作, 利用直线与双曲线只有 一个交点。 然后,由于这是同一条公切线, 我们知道两者的 b 是相等的。 在下个视频中,我们会得到 b 等于另一个关于 m 的表达式。 在得到另一个表达式后, 我们可以把它和本视频得到的式子划等号, 从而解出 m。 而一旦解出了 m, 我们也就解出了 b。 也就得到了我们要求的直线。