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预备微积分
圆和双曲线的共同切线 (第三部分)
2010年IIT JEE测试第一页问题45:圆与双曲线共同正切线 第三部分. 由 Sal Khan 创建
视频字幕
在这个视频中, 我们要对抛物线做我们对圆所做过的同样的运算, 我们要找到用 m 表示的 切线的 y 截距。 但是这一次,我们把它用于抛物线。 然后,我们让它们相等, 解出 m 。 我们回顾一下 抛物线的方程, 题目在这里给出了这个方程, 它就是 x平方/9 - y平方/4 = 1, 我把它写在这里, 它是 x平方/9 减去 y平方/4 等于-- 我写上 y平方-- 减去 y平方/4 等于 1, 现在,我们可以 把上个视频的 y = mx + b 代入到 y平方, 我们就能确定 y平方等于什么, y平方就等于这里所有这些项, 因为这是同一条直线。 记得吧,这是要点, 我们试图在同一条直线上找到两个约束。 所以我们把同样的表达式重写在这里。 实际上,我要 在方程两边乘上 36, 9 和 4 的公倍数, 这样,我就可以摆脱分数, 它就成了 36 --我这样写-- 36 除以 9 就是 4, 它就是 4x平方 减去-- 36除以 4 等于 9-- 我可以把 y 平方写在这里, 但是我们知道,y平方 和这里的表达式相同, 这样, y平方就等于 m平方x平方 + 2mbx + b平方 它就等于 --记得吧, 我们在方程两边乘以 36, 它就等于 36 --它等于 36, 我把它简化一下, 下面我们做同样的运算, 我们知道,m 和 b 应该是 -- 或者说,这条直线有一个斜率和 y 截距, 而且它和抛物线只在一点相交。 这个 x 的二次方程只有一个解。 在求解它之前,我们先来简化它。 它等于 4x平方- 9m平方x平方 -减18 mbx - 9 b平方, 只是把它们乘出来。 把两边减去 36, 减去 36 等于 0, 这是一个 x 的二次方程。 我们合并同类项, 这些是 x平方项, 就是 4 - 9m平方 乘以 x平方 然后唯一的一个 x 项在这里, 这是唯一的一个 x 项, 就是减去 18mbx, 然后我们的常数项在这里, 就是减去 9 b平方 -- 我这样写 --减去 9 -- 还是这样写吧,减去 9 b平方减 36。 写出来就是这样, 当然,它等于 0 。 还记得 二次公式吧, 要想解出 x ,我们需要二次公式。 但是我们只想要得到一个解, 所以二次方程公式的判别式 应该等于0。 b平方 - 4ac 要等于0, 这和我们在上一个视频中所做的完全一样, 我们取 b平方 - 4ac, 设它等于 0, 这样我们就得到 m 和 b 的约束, b平方就是 --记住,不要把 二次公式里的 b 和 y截距 b 混了, 这一项的平方--它就是 -- 18平方 m平方 b平方,对吧? 负18的平方就是正18, 减去 4 乘以 a , a 是 4 -9m平方,乘以 c, 我可以把 c 写成 -9乘以 b平方 加 4, 我做对了吗? -9 乘以 b平方是 -9b平方, -9乘以 4 是 -36, 我想确认我没有犯粗心的错误, 这就成了-- 如果我们把 -9 和-4 相乘, 就成了正 36, 它们就是正 36, 我们可以进行简化, 我们不必做太多酷炫的数学, 这个 18 的平方,--我们记得-- 18 的平方就是-- 它可以分解成--我们 先不用考虑这么多, 我只是想确定-- 其实我还是写成这样, 18平方就是2乘以9乘以2乘以9, 或者是4乘以9 乘以9, 这和18平方一样, 4乘以9 乘以9, 现在我们可以把这两项除以-- 记得吧,我们是想让它们整个等于 0, 这个判别式要等于 0, 所以我们可以把方程两边 除以 36,也就是除以 4乘以9的积, 所以这里这一项,我们可以 去掉一个 4 ,一个 9, 这里,我们得到 9m平方b平方, 然后,除以36,这些消掉, 就是 9m平方b平方 加上它乘以它, 来看看,它等于什么, 我们有 4乘以 b平方, 我们有加 4b平方, 我用不同的颜色, 我用蓝色, 加上 4b平方, 然后,你有 4乘以4, 加上 16, 你有 - 9m平方乘以 b平方, 就是 -9m平方 b平方 然后,有 -9m平方乘以 4, 就是 -36m平方, 它等于 0, 我们很幸运,它和它消掉, 我们剩下的几项, 实际上,我们剩下的项, 都可以被 4 除, 我们把剩下的项除以 4, 我们还有 b平方--这是这一项, 减去 9m平方, 这是这一项, 只是把它除以 4, 然后加上 4 等于 0。 再一次,我们可以-- 实际上我们不必做任何事, 我们不必用二次方程公式, 我们只要求解 b, 我们可以两边减去它, 我们得到 b平方等于 根号下 9m平方 - 4, 对不起--我这样写-- 我不想跳过这一步, b平方 = 9m平方- 4, 现在,他们在给办公室刷油漆 这可能让我有点-- 让我的脑子不太好用, 那么, b 等于 根号下 9m平方 - 4 , 我做得对吗? 我看看, 我得到 4, 好的,看着是正确的。 这样,对于 b ,我们就得到了这样一种情况, 如果我们说这条线 与抛物线相切,b 就是这样, 如果这条线与圆相切, b 就一定要等于它, 我把它拷贝然后粘贴, 贴在这里, 就这样, 现在我们有两个方程两个未知数, 我们可以设它们相等,然后求出 m , 这就给了我们 m 或者说那条切线的斜率, 我们可以继续下去,进而解出 b , 我将在下一个视频中来求解。