圆和双曲线的共同切线 (第三部分)

在这个视频中， 我们要对抛物线做我们对圆所做过的同样的运算， 我们要找到用 m 表示的 切线的 y 截距。 但是这一次，我们把它用于抛物线。 然后，我们让它们相等， 解出 m 。 我们回顾一下 抛物线的方程， 题目在这里给出了这个方程， 它就是 x平方/9 - y平方/4 = 1， 我把它写在这里， 它是 x平方/9 减去 y平方/4 等于-- 我写上 y平方-- 减去 y平方/4 等于 1， 现在，我们可以 把上个视频的 y = mx + b 代入到 y平方， 我们就能确定 y平方等于什么， y平方就等于这里所有这些项， 因为这是同一条直线。 记得吧，这是要点， 我们试图在同一条直线上找到两个约束。 所以我们把同样的表达式重写在这里。 实际上，我要 在方程两边乘上 36， 9 和 4 的公倍数， 这样，我就可以摆脱分数， 它就成了 36 --我这样写-- 36 除以 9 就是 4， 它就是 4x平方 减去-- 36除以 4 等于 9-- 我可以把 y 平方写在这里， 但是我们知道，y平方 和这里的表达式相同， 这样， y平方就等于 m平方x平方 + 2mbx + b平方 它就等于 --记得吧， 我们在方程两边乘以 36， 它就等于 36 --它等于 36， 我把它简化一下， 下面我们做同样的运算， 我们知道，m 和 b 应该是 -- 或者说，这条直线有一个斜率和 y 截距， 而且它和抛物线只在一点相交。 这个 x 的二次方程只有一个解。 在求解它之前，我们先来简化它。 它等于 4x平方- 9m平方x平方 -减18 mbx - 9 b平方， 只是把它们乘出来。 把两边减去 36， 减去 36 等于 0， 这是一个 x 的二次方程。 我们合并同类项， 这些是 x平方项， 就是 4 - 9m平方 乘以 x平方 然后唯一的一个 x 项在这里， 这是唯一的一个 x 项， 就是减去 18mbx， 然后我们的常数项在这里， 就是减去 9 b平方 -- 我这样写 --减去 9 -- 还是这样写吧，减去 9 b平方减 36。 写出来就是这样， 当然，它等于 0 。 还记得 二次公式吧， 要想解出 x ，我们需要二次公式。 但是我们只想要得到一个解， 所以二次方程公式的判别式 应该等于0。 b平方 - 4ac 要等于0， 这和我们在上一个视频中所做的完全一样， 我们取 b平方 - 4ac， 设它等于 0， 这样我们就得到 m 和 b 的约束， b平方就是 --记住，不要把 二次公式里的 b 和 y截距 b 混了， 这一项的平方--它就是 -- 18平方 m平方 b平方，对吧？ 负18的平方就是正18， 减去 4 乘以 a ， a 是 4 -9m平方，乘以 c, 我可以把 c 写成 -9乘以 b平方 加 4， 我做对了吗？ -9 乘以 b平方是 -9b平方， -9乘以 4 是 -36， 我想确认我没有犯粗心的错误， 这就成了-- 如果我们把 -9 和-4 相乘， 就成了正 36， 它们就是正 36， 我们可以进行简化， 我们不必做太多酷炫的数学， 这个 18 的平方，--我们记得-- 18 的平方就是-- 它可以分解成--我们 先不用考虑这么多， 我只是想确定-- 其实我还是写成这样， 18平方就是2乘以9乘以2乘以9， 或者是4乘以9 乘以9， 这和18平方一样， 4乘以9 乘以9， 现在我们可以把这两项除以-- 记得吧，我们是想让它们整个等于 0， 这个判别式要等于 0， 所以我们可以把方程两边 除以 36，也就是除以 4乘以9的积， 所以这里这一项，我们可以 去掉一个 4 ，一个 9， 这里，我们得到 9m平方b平方， 然后，除以36，这些消掉， 就是 9m平方b平方 加上它乘以它， 来看看，它等于什么， 我们有 4乘以 b平方， 我们有加 4b平方， 我用不同的颜色， 我用蓝色， 加上 4b平方， 然后，你有 4乘以4， 加上 16， 你有 - 9m平方乘以 b平方， 就是 -9m平方 b平方 然后，有 -9m平方乘以 4， 就是 -36m平方， 它等于 0， 我们很幸运，它和它消掉， 我们剩下的几项， 实际上，我们剩下的项， 都可以被 4 除， 我们把剩下的项除以 4， 我们还有 b平方--这是这一项， 减去 9m平方， 这是这一项， 只是把它除以 4， 然后加上 4 等于 0。 再一次，我们可以-- 实际上我们不必做任何事， 我们不必用二次方程公式， 我们只要求解 b， 我们可以两边减去它， 我们得到 b平方等于 根号下 9m平方 - 4， 对不起--我这样写-- 我不想跳过这一步， b平方 = 9m平方- 4， 现在，他们在给办公室刷油漆 这可能让我有点-- 让我的脑子不太好用， 那么， b 等于 根号下 9m平方 - 4 ， 我做得对吗？ 我看看， 我得到 4， 好的，看着是正确的。 这样，对于 b ，我们就得到了这样一种情况， 如果我们说这条线 与抛物线相切，b 就是这样， 如果这条线与圆相切， b 就一定要等于它， 我把它拷贝然后粘贴， 贴在这里， 就这样， 现在我们有两个方程两个未知数， 我们可以设它们相等，然后求出 m ， 这就给了我们 m 或者说那条切线的斜率， 我们可以继续下去，进而解出 b ， 我将在下一个视频中来求解。