圆和双曲线的交点

圆x²+y²-8x=0与双曲线x²/9-y²/4=1交于A、B两点 圆x²+y²-8x=0与双曲线x²/9-y²/4=1交于A、B两点 圆x²+y²-8x=0与双曲线x²/9-y²/4=1交于A、B两点 圆x²+y²-8x=0与双曲线x²/9-y²/4=1交于A、B两点 第46题中 题目要我们求出以AB为直径的圆的方程 第46题中 题目要我们求出以AB为直径的圆的方程 我们先画出圆和双曲线 圆x²+y²-8x 圆x²+y²-8x 我要写成另一种形式 x²-8x+y²=0 x²-8x+y²=0 等式两边都加16 这样是为了把x项写成完全平方公式 所以加上16 变成了(x-4)²+y²=16 变成了(x-4)²+y²=16 所以圆画出来是这样的 这是x轴 这是y轴 圆心在(4, 0) 圆心在(4, 0) 所以1, 2, 3, 4 (4, 0)在这里 它的半径是4 因为半径的平方是16 所以半径是4 让我往上数1, 2, 3, 4 往下数1, 2, 3, 4 再往右数1, 2, 3, 4 所以所有这些点 这四个点都在圆上 让我画得更准确一点 这四个点都在圆上 这四个点都在圆上 所以圆画出来就是这样的 我画得不是特别精确 但我觉得您能理解大概的意思 这就是圆 然后还有双曲线 x²/9-y²/4=1 这个双曲线的开口是向左右的 因为x项是正的 看起来是这样的 您可以画出渐近线 我来画一下 先解y 会得到 -y²/4=-x²/9+1 -y²/4=-x²/9+1 这是把等式两边都减去了x²/9 然后等式两边都乘-4 然后等式两边都乘-4 得到y²=4x²/9-4 得到y²=4x²/9-4 或者y= 这里是正的部分 我这样做是为了理解渐近线 y等于根号下4x²/9-4 所以随着x变大 这一项的影响越来越小 所以当x趋于无穷大 y会接近根号下4x²/9 这个常数不再重要 所以y会接近2x/3 所以y会接近2x/3 想象成斜率 如果向右移动3个单位 就会向上移2个单位 所以渐近线就是这样的 它会接近这条线 并且渐近线是对称的 所以它也会接近这条线 所以它也会接近这条线 如果想知道双曲线和x轴的交点 只需要设y=0 得到x²/9=1 所以x=±3 所以正的交点在这里 所以双曲线的右支看起来是这样的 所以双曲线的右支看起来是这样的 双曲线还有左支 但是在这里不重要 因为它和圆没有关系 题目告诉我们双曲线和圆交于A、B两点 题目告诉我们双曲线和圆交于A、B两点 所以这是点A 这是点B 我们要求出以AB为直径的圆的方程 我们要求出以AB为直径的圆的方程 所以AB是直径 我要画得更直一点 要求这个圆的方程 所以本质上 我们只需要求出双曲线和圆的交点 所以本质上 我们只需要求出双曲线和圆的交点 最简单的方法是 我们有两个限制条件 先解圆的y² 然后把它代入双曲线的y² 得出x的值 然后用这个x的值 这个值就是我们要用到的 这个值就是我们要用到的 可以求出y值 y值就是圆的半径 (x, 0)就是圆心 然后就能求出方程了 所以我们来算一下 我要用黄色的笔写圆的方程 等式两边都减去x²和-8x 圆的方程就变成了 我先把等式两边都加8x 我先把等式两边都加8x 所以这里是8x 然后两边都减去x² 8x-x² 我只是把x²和-8x都移到了方程右边 我只是把x²和-8x都移到了方程右边 现在可以把它代入双曲线方程的y² 现在可以把它代入双曲线方程的y² 双曲线方程是x²/9-y²/4=1 双曲线方程是x²/9-y²/4=1 这里不写成y²了 我们知道这个式子同样满足双曲线方程 所以这里是8x-x² 让我看看能不能解出这个方程 这是一个简单的二次方程 虽然它看起来可能没那么简单 我来把它化简一下 x²/9-8x/4 x²/9-2x+x²/4 我只是把这两项都乘了-1/4 我只是把这两项都乘了-1/4 x²/9-2x+x²/4=1 然后把整个方程乘36 为了去掉分数 所以这里9要乘4 因为36÷9=4 所以4x²减去36×2x=72x 36÷4=9 所以4x²-72x+9x²=36 把这两项加起来 得到13x²-72x 然后把等式两边都减去36 所以13x²-72x-36=0 现在得到了一个简单的二次方程 我们只需要求出x 也就是根 我们要用到求根公式 所以x等于-b 这里是负的-72 所以是72±√72×72-4×ac 所以是72±√72×72-4×ac c=-36 可以把负号放在这里 就变成了正号 然后把36放在后面 这些部分都要除以2a 就是这些部分除以26 所以难的地方在于化简 但是有趣的事情发生了 让我把这部分重写一遍 写在这里 72×72=2×36×2×36 对吗？ 每一个都是72 这和72×72是一样的 然后加上4×36×13 然后求它们的平方根 我写在这里 就不会浪费这里的空间 现在我们可以提出4×36 这是4 这有一个36 所以它等于 让我写得更整洁一些 它等于根号下4×36 事实上4×36=144 我在这里写成4×36 4×36 这里的两个2都被提出来了 所以只剩下了一个36 这里的4×36也被提出来了 所以加上13 所以就变成了4×36=144 36+13=49 144×49的平方根 很幸运这是两个完全平方 很幸运这是两个完全平方 所以就是√144×√49 等于12×7=84 所以这里的分子就化简为72±84 所以这里的分子就化简为72±84 这个部分化简为84 分子除以26 如果减去84 得到的结果在这个题里没有意义 得到的结果在这个题里没有意义 我们要求正的x值 所以只考虑加84 然后看得出的结果 首先把分子和分母都除以2 首先把分子和分母都除以2 所以等于36+42除以13 等于78/13 78可以被13整除 78÷13=6 x=6 所以横坐标是6 在这里 横坐标是6 我们还不知道纵坐标 所以来算一下 非常简单 我们可以把x=6代入任何一个方程 这一个应该更简单 y²等于 8×6=48 48-36=12 所以y=√12 如果愿意的话 可以化简这个根式 但我们知道现在的重点 这里是(6, √12) 不对 这个点是(6, 0) 圆心是(6, 0) 但是交点是(6, √12)吗？ 但是交点是(6, √12)吗？ 应该说是±√12 应该说是±√12 这个交点是(6, -√12) 这个交点是(6, -√12) 这个点是(6, 0) 就是我们的圆心 所以这个新圆的方程是什么？ 所以这个新圆的方程是什么？ 已经知道了圆心 圆心在(6, 0) 写在这里 圆心在(6, 0) 所以圆的方程是(x-6)²+(y-0)²等于半径的平方 所以圆的方程是(x-6)²+(y-0)²等于半径的平方 半径是多少？ 半径就是这里的高度 它等于交点上的y值 就是√12 现在要求半径的平方 半径的平方是12 半径的平方是12 所以方程是 看一下题目选项的形式 题目把所有项都展开了 所以我们也这样做 就是x²-12x＋36＋y²=12 就是x²-12x＋36＋y²=12 然后等式两边都减去12 然后等式两边都减去12 得到x²-12x＋24＋y²=0 得到x²-12x＋24＋y²=0 看看符合哪个选项 让我把它复制下来 然后粘贴到这里 然后粘贴到这里 我们有正的x²和y² 还有-12x和+24 -12x和+24 所以答案应该是a 我做对了吗? x²+y²-12x+24 没错 答案是a