具有挑战性的复数问题: 复数行列式

设Omega是复数Cos 2pi除以3 加上i Sin 2pi 除以3 然后一个不同的复数z，它满足这个行列式 等于是0这个条件 所以我们有一个3x3行列式等于0 所以我们来计算一下这个行列式 来看看我们是否可以算出z 或者多少个复数z满足这个-- 也就是一个等式 所以我们来算一下行列式 我们从这里的这项开始 它等于这项乘以这个2x2 的子矩阵 也就是z加1，乘以 z加上omega的平方，乘以z加上omega，加上1 所以这个是这里的2x2的矩阵的行列式 --这个2x2子矩阵--和这个 z加1 然后我们必须要交换符号 我们在这里处理 我们要把负号放到前面 当你计算行列式时， 你会看到这个棋盘图案 所以减去omega乘以--你把这行隔离掉，这列也隔离掉 所以子行列式是omega乘以z加上omega 我们现在把它乘出来 所以是z omega加上omega平方， 减去omega平方乘以1 很简洁 我们已经得到了一些比较简化的结果 然后我们要处理omega的平方 它等于是加上omega平方乘以omega乘以1-- omega乘以1是omega--减去omega平方 乘以z加上omega 所以减去omega平方z减去omega四次方 记住这整个表达式 应该等于0 这整个的等于0 我们来看下是否可以简化一下 我们先把这两个相乘一下 z乘以z是z的平方 z乘以omega是z omega omega平方乘以z是omega平方 z omega平方乘以omega 得到omega三次方--加上omega的三次方 然后，这个减去1 然后所有的乘以z加上1 我们继续蓝色的部分 我们集中处理它 得到z乘以所有这些 也就是z的三次方加上 z的平方omega，加上omega平方z平方 加上omega的三次方z减去z 我把z乘以所有这些 然后加上1乘以所有这些 所以，再次加上这个，z平方加上z omega 加上omega平方z，加上omega三次方，减去1 我们在这里简化一下 绿色部分消掉了 我们剩下 --我用同样的绿色--负omega乘以z omega 所以就是负z omega平方 然后这里红色部分我们得到 加上omega三次方减去omega三次方z 小心 这个应该是omega的四次方 omega平方乘以omega平方 得到omega四次方--omega四次方z 然后omega平方乘以omega的四次方是 omega的六次方 我们有一个负号 也就是负omega的六次方 当然，整个这个部分得等于0 我们来看看是否可以简化 我们把同类项合并下--z的不同次方 我们得到一个z的三次方在这里 只有这一个z的三次方 然后我们合并z的平方这项 所以这是一个z平方项 这个是一个z平方项 这个是z平方项 我们没有其他的z平方项了 所以这个系数-- 这个等于是omega平方--就是这里的这个 --加上omega，加上1，乘以z平方 我们把所有的粉红下划线的部分 都处理了 现在我们来处理z项 我用这个颜色 这个是一个z项 我们乘以z 这个是z项 这个是z项 这个也是z项 然后我们有其他z项嘛？ 这里有一个 事实上，这两个互相抵消了 我们得到的是负的z omega平方 正z omega平方 所以，这个和这个抵消了 所以我们只有这里的三个z项 所以我们有正omega的三次方 然后我们有正omega的三次方 让我--这个颜色太接近了 加上omega的三次方 然后我们下一个z是减去1 但是我们这里有个omega 所以加上omega减去1 这个白色和粉红颜色 太接近了，容易混 得到omega的三次方减去1，加上omega，乘以z 然后，不要忘了 这里还有这项 omega四次方乘以z 所以我们得到-1 omega的三次方z 然后我们有-1 z 然后我们有加上omega z 然后我们有负omega的四次方 所以我写这里 我没有用降幂的顺序 但是我不想把这些重新写一次 所以我们来处理所有的这些z项 然后剩下的是我们能够看到的 --常项，从z的角度 所以我们有omega-加上omega立方 实际上，我们有两个omega立方 这里一个，这里一个 我们已经处理过了 然后我们有一个负的omega六次方 然后是-1 所有这些等于0 这个看起来很令人生畏 特别是omega看上去很复杂的样子-- 它确实是个复杂的表达式 但是也许，或者说有可能，你会想到 它可以用欧拉公式 表达为指数形式 我们知道e的i theta等于 cosine theta加上i sine theta 所以，omega可以重写为 omega就是e的2pai除以3i次方 这个就是omega e的2pi除以3 i是多少？ 我们可以在这里计算 它是cosine 2pi除以3 我们可以用单位圆周来解决 2 pi除以3对应于120度 所以我们的单位圆周 可以计算出它的值 我之所以这么做的原因--我实际上 在这里计算得到了一个值-- 但是我这么做的原因是因为 e的2pi除以3的次方 i的计算 比这个的这个次方计算更简单 但是如果我们用单位圆周， 如果像这样，我们在单位圆周上的120度上 这就是2pi除以3 然后我们有一个问题 这里的这个角是60度 所以我们的高会是3除以2的平方根 我们的x坐标会是-1/2 所以它等于-1/2 cosine 2 pi除以3是-1/2 sine 2pi除以3等于3除以2的平方根 但是它会要乘以i 所以加上3除以2的平方根 i 这个就是omega 现在让我们想想omega的平方 omega的平方是这个的 二次幂 所以它等于--我们将它乘以 2，e的4pi除以3 i 我们将它乘以2 等于是240度 所以它就等于这里这个 我们写下来 它等于是cosine 4pi除以3 加上i sine 4 pi除以3 这里，我们的x坐标是相同的 也就是-1/2 所以这个等于是-1/2 我们的y坐标是负的3除以2的平方根 i 现在我们来计算omega的三次方 omega的三次方等于是e的2pi i 等于是consine 2 pi加上i sine 2pi sine 2pi是0 cosine 2pi是1 然后是omega的四次方 因为它也在表达式里 omega的四次方等于--我们将它乘以4-- 它是e的8pi除以3 i 8 pi除以3等于是-这个是2pi除以3 这个是4pi除以3 这个也就是6pi除以3 然后8pi除以3也就是 --2 pi除以3的同样的角度-- 所以它们的值 是相等的 -1/2加上3除以2的平方根 i 我们没有omega的5次方 但是我们有omega的6次方 我们来计算一下 omega的6次方--它就是omega的立方 再平方 omega立方等于1所以 所以它就是1的平方 也就是1 现在，这样算下来 我们看下这些表达式简化成什么了 希望它简单一些 所以这里这个表达式-omega平方-- 我们有--我写这里 我们有-1/2减去3除以2的平方根 i 它是omega的平方 然后是加上omega omega在这里 -1/2加上3除以2的平方根 i 然后我们加上1 然后，负的3除以2的平方根 i 和正的3除以2的平方根 i 抵消掉 -1/2减去1/2是-1，加上1 它们抵消掉 所以整个表达式得到0 所以我们可以忽略 它总是0这个结果 我们现在来看这里 这个是omega立方 omega立方我们知道是1，加上omega 也就是--我应该写-1/2 加上3除以2的平方根 i，减去1 减去omega的四次方 omega的四次方和omega相等omega四次方 omega的四次方和omega相等omega四次方 所以我们得到omega减去 某个和它一样的项 它们会互相抵消掉 Omega立方是1 所以1和1抵消掉了 这个等于是0 我想，这里有个模式 然后最后，我们看一下这些符号 2乘以omega立方-- 它等于是2-减去omega的六次方 这个是-1 然后我们得到的是-1 然后这个2，减去1，减去1 这也等于是0 所以整个行列式，这个简化成 z的三次方的整个等式等于0 唯一的数字，当我们来做三次方的时候 实数或者是复数，或者任何数-- 会是0 z等于0是唯一解答 但是问题没有问这个 题目问不同的复数 z满足这个 所以，z等于0是唯一的满足条件的值 所以满足条件的复数的数量是1