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主要内容

具有挑战性的复数问题 (第一题)

印度的 "真真" 考试第一卷第39道题,是关于复数的。 Sal Khan 创建

视频字幕

让z1和z2表示两个不相同的复数。 让z表示,按照题目中所说 “1减去t乘以z1加t乘以z2,对于某个介于0和1 之间的数字t。” 然后题目中还说“如果Arg(w)表示的是一个非零复数w的 主辐角,那么?” 然后我们知道辐角是角度,或者说是位置向量 它所说明的是复数在复数平面上与 实数轴所成的角度。 让我把它画出来。 所以如果我们画一张阿尔冈图,这就是虚数轴。 这个是实数轴。 如果这个是我们的复数,如果这是z, 它的辐角-- z的辐角-- 就是这里的这个角度。 所以φ等于z的辐角。 这就是第二个部分所告诉我们的内容。 现在,让我们一条一条看,看哪些是正确的。 另外澄清一下,这道题也是那种 可能有不止一个答案 是正确的。 那么让我们看看是不是这样。 让我们先求出z减去z1的大小是什么。 z减去z1的大小是 将会是-- 让我写下来-- 这就是 多大呢-- 让我们先做z的部分。 让我用同一种颜色写。 那么如果我可以先只关注z, z是这里的这个东西。 让我分配z1。 所以z1减tz1,减tz1,然后加tz2。 之后,我们想要减去z1。 之后,我们要再减z1,减z1。 然后这个和这个互相抵消。 让我们来看看。 我们可以从这里提出一个t。 所以这就等于什么的大小呢-- 让我们提取出 一个t乘以z2减z1。 所以这个就是z减去z1的大小, 这里的这个第一项。 让我们求出z减去z2的大小。 我会用不同的颜色来写。z减去z2 就等于什么的大小-- 那么, z就是这里的这个东西。 让我把它写出来。 它就是1减t乘以z1加t乘以z2,这就是z。 之后,我们想要减去z2,减z2。 那么我们这里可以怎么做呢? 我们可以这里提取出一个t减1。 我们可以从这两项中提出z2。 那么这就会等于1减t乘以z1的大小 1减t乘以z1。 这也就是这里的这一项。 加上-- 让我用另一种颜色来写-- 加t减1, 乘以z2。 这里的这个东西的大小就是这里的这一项。 现在,让我们看看当我们用这个 加上另一个式子的时候会发生什么。 这就是选项A所做的事情。 我们拿这个式子加了另一个式子。 让我们看看我们是否能够简化它。 那么这里的这个就变成了t乘以z2减z1加 的绝对值,或者说是大小-- 我会用品红色来写 这里的这整个式子-- 加上这里的这个式子。 以及这里的这个式子-- 实际上,在我把它 写出来之前-- 我们可以如何简化它? 我们有一个1减t和一个t减1。 我就写在这里了。 但是我要稍微改变一下。 所以这就等于1减t乘以z1 的大小。 所以我这里有一个1减t, 我会从中提取出一个负号。 那么负1,减t,我只是调换了它们的顺序。 负1减t就等同于正t 减1,z2。 然后这里的这个式子,因为我这里有 一个1减t,这就会变成这一项的 大小,我只是提取出了1减t, 1减t乘以z1减z2。 那么我们就得到了这个式子。 让我复制粘贴它。 复制粘贴。 我们有这个式子加这个式子。 这就是表达式A所简化完后的形式。 现在让我们看看我们是否能够再进一步简化它。 让我们看看我们是否能够再进一步简化它。 t只是一个标量。 t在0和1之间。 题目中这里告诉了我们这一点,t在0和1之间。 所以这是正的。 这里的这个是一个正值。 然后这里的这个也会是一个正的值。 t比0大,它比1小。 所以这里的这个也会是一个正的值。 这些也都只是标量。 所以这也会是同样的东西。 这些只是缩放了大小。 所以这也是同样的东西。 在这些是正的值。 所以这个就是t乘以绝对值-- 实际上 这里我不跳过步骤。 这就跟t的绝对值乘以z2减z1的 绝对值是一样的-- 因为这只是缩放了它-- 加上1减t的绝对值, 乘以z1减z2的绝对值。 现在让我把这一点阐述清楚,z1减z2的绝对值 就等于z2减z1的绝对值。 这两个向量只是指向不同的方向, 或者说是这些复数。 其中一个只是另一个的相反。 但是它们的绝对值,或者说它们的大小, 是一样的。 让我写下z2减z1,z2减z1的绝对值, 在这里。 我这么做的原因是 我这里就能得到同样的东西。 然后我就可以提取公因式了。 z2减z1的绝对值 就和z1减z2的绝对值是 一样的,因为它只是 另一个方向的。 现在,我们这里可以做什么? t的绝对值,记住 t是正的,所以这也就等于t。 1减t的绝对值,再说一次,是 正的,所以这也就是1减t。 我们就可以把这些东西提出来了。 我们就会得到t加1减t, 乘以z2减z1的绝对值。 现在,这两个t就会互相抵消。 前面就只剩下了一个1。 所以这就等于z2减z1的绝对值。 我们可以看到选项A是正确的。 这项加这项确实等于那一项。 今天就先到这里。 在下一个视频中,我们将会 试着解出其他的选项 来看看它们是否也是正确的。