想象复数乘法

至此我们知道如何将两个复数相乘，无论是矩形还是极坐标形式。 特别是, 极坐标形式告诉我们, 我们将 大小相乘 和 角度相加 ：

以极坐标形式考虑复数乘法的一个很大的优点是，这种方式能够可视化发生了什么。

如果我们把复平面上所有的点都乘以一个复数 $z$‍ 会发生什么呢？如果 $z$‍ 的极坐标形式是 $r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍，上面叙述的法则告诉我们，平面上的每一个点大小都将被放缩 $r$‍，同时旋转 $\theta$‍ 角度。

对于 $z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍，把所有点乘以 $z$‍ 会把所有点的大小放缩 $2$‍ 同时逆时针旋转 ${30}^{\circ }$‍，像这样：

对于 $z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍，$z$‍ 的绝对值是

同时它的角度是 $-{45}^{\circ }$‍，所以乘以 $z$‍ 会把所有东西放缩 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx 0.471$‍，即是收缩所有东西，同时绕着原点旋转 $-{45}^{\circ }$‍，这是一个 顺时针 旋转。

对于 $z=-2$‍，绝对值 $2$‍ 和 ${180}^{\circ }$‍ 的角度，乘法会使绕原点转半圈同时拉伸为原来的 $2$‍ 倍。

另外一种方式去思考这些变换和更一般化的复数乘法是在数字 $1$‍ 做一个标记，然后在 $z$‍ 上也做上标记，然后注意乘以 $z$‍ 会把 $1$‍ 上的标记拉向 $z$‍ 的起始位置，因为 $z\cdot 1=z$‍。当然，原点一定是固定不动的，因为 $z\cdot 0=0$‍。

很有趣的是，在可视化复数乘法时，像 $z\cdot 1=z$‍ and $z\cdot 0=0$‍ 这样简单的事实是如此的有用！

让我们看看当我们把平面乘以某些复数 $z$‍，然后乘以它的共轭数 $\overline{z}$‍ 会发生什么：

如果 $z$‍ 的角度是 $\theta$‍，那么共轭复数 $\overline{z}$‍ 的角度是 $-\theta$‍，所以这两个连续的乘法没有任何旋转。我们可以通过注意到 $1$‍ 最终落在正实数轴上来看到这个事实。

大小呢？两个复数都有同样的绝对值， $|z|=|\overline{z}|$‍，所以先乘以 $z$‍ 然后乘以 $\overline{z}$‍ 会把所有东西拉伸 $|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍。

当然，这些简单的事实从公式本身便不难看出，因为 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍，但是视觉上看到它的变化会带来更多启发。

如果我们把复平面上所有的点都除以一个复数 $z$‍ 会发生什么呢？如果 $z$‍ 的角度是 $\theta$‍ 同时绝对值是 $r$‍，那么除法和乘法正好相反： 它把所有东西旋转 $-\theta$‍ 同时放缩 ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ （就是缩小 $r$‍）。

$\sqrt{3}+i$‍ 的角度是 ${30}^{\circ }$‍，同时它的绝对值是 $2$‍，所以所有东西旋转 $-{30}^{\circ }$‍， 就是顺时针旋转，同时放缩 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ （就是按 $2$‍ 作为因子收缩)。

${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ 的角度是 $-{45}^{\circ }$‍，同时它的绝对值是

所以现在所有东西东都旋转 $+{45}^{\circ }$‍，同时被按 ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx 2.121$‍ 的比例放缩

你可能已经注意到了这些除法也能被看做将坐落在 $z$‍ 上的点拿起来再把它放在 $1$‍ 的点上。

要计算 ${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍，我们需要把除数和被除数写成 $z=a+bi$‍ 和 $w=c+di$‍的形式。我们之前学过同时乘以分子与分母 $w$‍ 的共轭复数 $\bar{w}=c-di$‍。

换句话说，除以 $w$‍ 和乘以 ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍ 是一样的。有什么更直观的方式来理解这个性质吗？

假设 $w$‍ 的角度是 $\theta$‍ 同时绝对值是 $r$‍，那么如果除以 $w$‍，我们必须要旋转 $-\theta$‍ 同时放缩 ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍。因为共轭复数 $\bar{w}$‍，和 $w$‍ 有相反的角度，乘以 $\bar{w}$‍ 会旋转 $-\theta$‍，正如我们所希望的。但是，乘以 $\bar{w}$‍ 会把所有东西放缩 $r$‍，与原式正好相反，所以我们除以 $r^2=|w{|}^2$‍ 去更正。

例如，直接除以 $1+2i$‍ 是这样的：

这里是先乘以共轭复数 $1-2i$‍，再除以其绝对值的平方 $|1+2i{|}^2=5$‍ 的样子。

两者的最终结果是相同的。