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主要内容

想象复数幂

了解当您查看复杂平面上的图形效果时, 复杂数字的幂是如何表现的。

i2=1i 在数轴中位置之间的联系

我们在关于复数的学习中创造了数字 i, 使得其满足 i2=1,并且后来又通过把它放在了数轴中0正上方一个单位的位置,使其可视化。基于上一篇文章中提到的可视化方法,我们现在将要学习为何这个平方为 1 的数字应该放在这个位置。
可以看到,乘以 i 会使其关于原点旋转 90
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可以用两种方法来解释这个情况,一种是因为 i 的绝对值为 1 ,并且与数轴有 90 的角度,另一种则是因为这样旋转是唯一一种可以在固定原点 0 的情况下,将网格转一圈,又同时让 1 落在 i 的起点的方法。
那么, 如果我们将平面中的所有数字乘以 i 两次, 会发生什么情况?
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旋转 180 时也是一样的道理,也就是相当于将数字乘以 1。这应该不难理解,因为乘以 i 两次和乘以 i2 是一样的,而这就相当于乘以 1
并且,假如我们在保持 i 的性质, i2=1 的情况下将其放在了其他地方 ,我们就不会有这样清晰易懂的复数乘法的可视化了。

复数的幂

我们接下来再乘一些复数试一试。

示例 1:(1+i3)3

取一个绝对值为 12+(3)2=2 ,并且角度为 60 的数字:z=1+i3。如果我们将平面上的所有数字都乘以 z 三次,会发生什么情况?
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所有的数字都以 2 为倍数变大了三次,也就是说最终以 23=8 为倍数变大了。同样的,每个数字都旋转了三个 60 , 也就是说最终旋转了 180。因此,最终结果就与乘以 8 相同,所以 (1+i3)3=8
我们也可以用下面的代数方法来理解:
=(2(cos(60)+isin(60)))3=23(cos(60+60+60)+isin(60+60+60) =8(cos(180)+isin(180))=8

示例 2:(1+i)8

接下来,假设我们连续将平面上的所有数字都乘以 (1+i) 八次:
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由于 1+i 的大小为:
|1+i|=12+12=2,
所以所有数字都以 2 为倍数变大了八次,因此最终将是以前的 (2)8=24=16 倍。
既然 (1+i) 的角度为 45,那么所有的数字都会被旋转 845=360,所以最终就和没有旋转一样。因此, (1+i)8=16
此外,也可以用代数方法可以这样理解:
=(1+i)8=(2(cos(45)+isin(45))8=(2)8(cos(45++458 times)+isin(45++458 times))=16(cos(360)+isin(360))=16

示例 3:z5=1

我们还可以反问:有没有一个数字 z ,使得在将平面中所有数字都连续乘以 z 五次之后,所有的数字都回到他们开始的位置?换言之,我们可不可以解出方程 z5=1?我们很容易就能得到一个答案 z=1,但让我们试试看能不能找出其它解。
首先,这个数字的大小应该是 1,因为假如它大于 1 的话,平面中的数字就会变大,并且假如它小于 1 的话,平面中的数字就会缩小。然而旋转就不一样了,因为你可以在旋转之后还回到最开始的位置。具体来说,如果你旋转了一圈的 15 ,就像这样:
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那么连续重复 5 次之后,数字就会回到原来的位置。
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考虑到 3605=72,会将平面以这种方式旋转的数字就是 cos(72)+isin(72)
也有其他的方法,比如还可以一次旋转一圈的 25
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或者也可以向另一个方向旋转一圈的 15
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实际上,方程的解在单位圆中非常漂亮地构造了一个完美的五边形:
z5=1 的解

示例 4:z6=27

方程 z6=27 要我们找到一个复数 z ,使得平面中的数字在连续乘以这个数字 6 次之后变大 27,同时,由于数字为负代表着旋转 180,最终平面中的数字也要旋转 180
一个乘以 6 次之后可以将数字变大 27 倍的数字应该是 A276=3,而旋转 6 次后总共旋转 180 的角度应为 1806=30。因此,方程 z6=27 的解为:
3(cos(30)+isin(30))=3(32+i12)=32+i32
然而,方程还有其他的解呢!而且,这些解以 3 为半径在单位圆中构造了一个完美的六边形:
z6=27的解
知道这是为什么吗?

用常规方法解出方程 zn=w

我们来概括一下前两个例子:如果你已知两个量 wn,并且要解出 z,就比如上一个例子中 n=6w=27,你首先要找到 w 的极式表达:
w=r(cos(θ)+isin(θ))
这意味着 z 的角度一定是 θn,并且它的大小一定是 Arn。因为用这种方式将数字连续 n 次乘以 z 会导致数字以 θ 旋转,并且按 r 来缩放,也就是 w 的效果,所以:
z=Arn(cos(θn)+isin(θn))
为了找到其他的解,我们知道了 θ 等效于 θ+2πθ+4π,或者 θ+2kπk为任意整数)。它的重要性在于,假如我们将 θ 换为 θ+2πkθn 的值就将会被影响。因此所有的答案都应该用这个形式。
z=Arn(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))
对于 k 的一些整数值而言,以上的值将会在 k 的取值位于 0n1 之间时不同,但一旦 k=n,我们就可以发现角度 θ+2nπn=θn+2π 由于和 θn 相差一整圈,而变得一样了。因此,只用考虑 k0n1 之间的取值即可找到所有的答案。

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