复数除法：极形和指数形

这个像头发一样乱的表达式 我们只是把一个复数 写成蓝色，除以另外一个复数 第一个复数 实际上，它们两个都写成极坐标形式 我们也把它们绘到图上 第一个复数，7乘以 cosine 7pi 除以6 加上 i 乘以 sine7pi 除以 6 我们看到这个角度 如果我们用极坐标方式来考虑，是7pi除以 6 如果我们从正的实数轴开始， 我们用 7 pi 除以 6 我们移动7pi除以6 一直转到这里 然后从原点 向外延伸7个单位 或者说，距离原点7个单位 所以，1，2，3，4，5，6，7 到这里这个点 然后第二个数 角度是7pi除以4 所以，它告诉我们围绕这个点这样 一直这么转，我弄小一些 因为它的距离小一些 让我-我们说，从这里开始 然后一路转到这里 到这里这个点 到原点的距离是1 你可以想象，前面有一个1 我们要把它们两个相除 我鼓励你暂停视频 试下独立解答 然后，画出这个蓝色的复数 除以这个绿色复数得到的结果 好，你可能会意识到 如果你想直接除 会比较麻烦 处理的方式是先写成其他形式 你想到的可能是 指数形式可能会让处理简单些 我们把这个转化为指数形式的方式 是把这里这一堆东西 等同于，这个是由欧拉公式得到的 这个是e的7pi除以6i次幂 7pi除以6i 这个等同于这里的这个表达式 所以，整个这里的复数可以改写为 7e的7pi除以6i次幂 下面的这个复数可以写为 1乘以，我们不用一定要写这个1 但是底部的这里， 它等于e的7pi除以4i次幂 7pi除以4i 这个由欧拉公式得到 然后当你这样写道时候， 我们可以用指数的性质来简化表达式 我们有同样的底 我们可以只接把这里指数部分相减 它等于7除以1，得到7 除以1，得到7 它等于7，得到7乘以e 我换个亮点的颜色 7乘以e，它的7pi除以6i 减去7pi除以4i 减去7pi除以4i 次幂 这个等于多少？ 如果是7pi除以6倍某项 我把它减去7pi除以4倍某项 剩下多少？ 我看下，基本上 我们重新写一下 到目前这里，它其实是 分数的减法 所以，如果我要重写 如果我用12作为分母来重写它们 我们就得到一个公分母 这个是我们的6和4的最小公倍数 这个我们可以写做14pi除以12 或者写做14pi i 除以12 然后减去，我把分子分母乘以3 减去21pi i 除以12， 我这里只是将 分子和分母同时除以3 这个等于是 得到的是 分母是12 14pi i 减去21pi i 得到负7pi i 这个等于是7e的 负7pi i 除以12 现在我们看下，是否可以把它画出来 我们看下，在这些象限中， 这里的每个增量 1，2，3，4，5，6， 我们把这个象限分成6个相同的角度 这个象限是pi除以2 所以，每个部分是pi除以12 每个小的角度是pi除以12 所以，我们得到负7pi除以12 我们要向反方向移动 逆时针移动， 对不起，是顺时针移动 我们要移动，嗯，从这里开始 如果我们移动1，2，3，4，5，6，7 8，9，10，11，12，我们会到这里 做的对吧？我们检查一下 我们得到的是负7 所以，这里每个是pi，我检查一下 整个这个部分是pi，所以，我们有一个 我们检查一下，这里这个是pi 我们有1，2，3，4，5，6， 7，8，9，10，11，12 每个是它的12分之1 这里是pi除以12 然后，我们反方向移动7个单位 -1，-2，-3，-4， -5，-6，-7 一直这样下去 直到上次我们一直到-12 就是这个角度，这里这个 我们从原点移动的距离 是7，所以，向外移动1，2，3，4，5， 6，7，直到这里 所以，这个复数除以 这个复数等于这里这个复数 7乘以e的负7pi i 除以12 如果想把它写成极坐标形式， 我们当然可以这么做 我们可以说，它等于 7乘以cosine 负7pi 除以12 加上i sine 负7pi 除以12