复数的幂

我们有一个复数cosine 2pi除以3 或者说2/3 pi 加上i sine 2/3 pi 我们要对它求20次幂 我要做的是，首先把这个蓝色的数 绘制到复平面上，然后，算出它的 20次幂是多少，然后画出来 我鼓励你暂停视频， 试下独立解答 首先，我们来看这里这个蓝色复数 它显然是极坐标形式 这个角度是2/3 pi，或者说2pi除以3个弧度 它的大小显然是1 为了更清楚一些，可以把它写成纯粹的 极坐标形式，其中，大小是在前面的 复数是cosine 2除以3pi 加上i sine 2除以3pi 你可以这样写 当你看这个复数时，它的角度是2除以3pi 它会让我们得到，我们看一下 这个是0，这个是pi， 我们转到2/3pi个角度 每个是1，2，3，4，5，6， 7，8，9，10，11，12 每个是12分之1个pi，所以 我们要转它的2/3，也就是8pi除以12 1，2，3，4，5，6，7，8 我们知道2/3 pi 就是12分之8的pi 每个部分是12分之1的pi 我们数出8份 这个就是复数， 现在我们把它求20次幂 我们要使用欧拉公式来计算 欧拉公式，如果你还记得的话 告诉我们e的i theta次幂等于 cosine theta 加上i sine theta 你可以在这里看到，我们已经写成了这个形式 theta是2/3 pi 我们可以把这里蓝色的部分 写成e的2/3 pi i次幂 然后，当然，我们要把它求20次幂 这个会极大简化我们的计算 因为这里如果我们要对它做乘法， 如果我们有20个这个，我们把它乘在一起 它会非常的快捷 但是，这里，我可以运用幂的性质 这个等于是e的， 如果我们对某个部分写成指数幂形式， 再对那个指数幂求幂的话，我们只要将幂相乘 这个是e的20乘以2除以3 pi i 次幂 也就等于e的40除以3 pi i 次幂 现在，是这个数要求20次幂 但是它是一个很大的角度 如果我们想一下40除以3 pi 我们消化一下 40除以3 pi，等于 我们看下，40除以3，是13又1/3 等于是13加上1/3乘以pi 我们知道2pi弧度让你沿着 单位圆转一圈，所以它相当于 围绕单位圆周转了6圈， 应该说，转了6圈，没有单位圆 转了6圈，围着圆周转了6圈 来到我们我们要到的点 为了简化一下，我们把剪掉 这个算出来的最大的2pi的倍数 以得到这个，尽量小的形式 我们知道，一个角， 如果我们有一个角，它等于这个角加上 2 pi的倍数，其中k是任何整数 k也可以是负数，我们可以减去2 pi的倍数 我来做减法，看一下，这里可以减掉的 2pi的最大倍数是12pi 我们从这里减去12 pi 如果我减去12 pi，我在下面这里做 13 然后是1/3 pi减去12 pi 记住，我们这里是减去 2 pi的可能的最大倍数 13又1/3减去12，得到1又1/3 得到的是1又1/3的pi 或者，我们可以写做4/3 pi 这个复数等于是 e的4/3 pi 次方 i 这样就简化很多了，容易绘制出来 4/3 pi， 或者说1又1/3 pi 这个是pi，然后我们只要再 取1/3 pi，这里的每个是12分之1 如果我们取4个12分之1的pi，抱歉，这里每个是12分之1 的pi 我们取了4个12分之1的pi 1，2，3，4， 到这里 这个数取20次幂，得到这个 也等于是这个 我们画在这里 如果我们想，比如，算21次幂 我们就把这个角度 再增加2pi除以3，或者说8 pi除以12 我们要增加1，2，3，4，5， 6，7，8 份。 我们达到这里 这个在概念上如何理解？ 这个数的1次幂在这里 这个是我们这里的蓝色的原先的这个值 如果要求它的2次幂， 你要把这个角度增加2/3 pi 把角度增加到这里 计算到3次幂的时候， 你要把角度增加2/3 pi，到这里 4次幂，回到这里 5次，6次，7次，8次，9次， 10次，11次，12次，13次，14次，15次，16次，17次 18次，19次，20次方算下来到这里