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主要内容

视频字幕

我们有一个复数cosine 2pi除以3 或者说2/3 pi 加上i sine 2/3 pi 我们要对它求20次幂 我要做的是,首先把这个蓝色的数 绘制到复平面上,然后,算出它的 20次幂是多少,然后画出来 我鼓励你暂停视频, 试下独立解答 首先,我们来看这里这个蓝色复数 它显然是极坐标形式 这个角度是2/3 pi,或者说2pi除以3个弧度 它的大小显然是1 为了更清楚一些,可以把它写成纯粹的 极坐标形式,其中,大小是在前面的 复数是cosine 2除以3pi 加上i sine 2除以3pi 你可以这样写 当你看这个复数时,它的角度是2除以3pi 它会让我们得到,我们看一下 这个是0,这个是pi, 我们转到2/3pi个角度 每个是1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12 每个是12分之1个pi,所以 我们要转它的2/3,也就是8pi除以12 1,2,3,4,5,6,7,8 我们知道2/3 pi 就是12分之8的pi 每个部分是12分之1的pi 我们数出8份 这个就是复数, 现在我们把它求20次幂 我们要使用欧拉公式来计算 欧拉公式,如果你还记得的话 告诉我们e的i theta次幂等于 cosine theta 加上i sine theta 你可以在这里看到,我们已经写成了这个形式 theta是2/3 pi 我们可以把这里蓝色的部分 写成e的2/3 pi i次幂 然后,当然,我们要把它求20次幂 这个会极大简化我们的计算 因为这里如果我们要对它做乘法, 如果我们有20个这个,我们把它乘在一起 它会非常的快捷 但是,这里,我可以运用幂的性质 这个等于是e的, 如果我们对某个部分写成指数幂形式, 再对那个指数幂求幂的话,我们只要将幂相乘 这个是e的20乘以2除以3 pi i 次幂 也就等于e的40除以3 pi i 次幂 现在,是这个数要求20次幂 但是它是一个很大的角度 如果我们想一下40除以3 pi 我们消化一下 40除以3 pi,等于 我们看下,40除以3,是13又1/3 等于是13加上1/3乘以pi 我们知道2pi弧度让你沿着 单位圆转一圈,所以它相当于 围绕单位圆周转了6圈, 应该说,转了6圈,没有单位圆 转了6圈,围着圆周转了6圈 来到我们我们要到的点 为了简化一下,我们把剪掉 这个算出来的最大的2pi的倍数 以得到这个,尽量小的形式 我们知道,一个角, 如果我们有一个角,它等于这个角加上 2 pi的倍数,其中k是任何整数 k也可以是负数,我们可以减去2 pi的倍数 我来做减法,看一下,这里可以减掉的 2pi的最大倍数是12pi 我们从这里减去12 pi 如果我减去12 pi,我在下面这里做 13 然后是1/3 pi减去12 pi 记住,我们这里是减去 2 pi的可能的最大倍数 13又1/3减去12,得到1又1/3 得到的是1又1/3的pi 或者,我们可以写做4/3 pi 这个复数等于是 e的4/3 pi 次方 i 这样就简化很多了,容易绘制出来 4/3 pi, 或者说1又1/3 pi 这个是pi,然后我们只要再 取1/3 pi,这里的每个是12分之1 如果我们取4个12分之1的pi,抱歉,这里每个是12分之1 的pi 我们取了4个12分之1的pi 1,2,3,4, 到这里 这个数取20次幂,得到这个 也等于是这个 我们画在这里 如果我们想,比如,算21次幂 我们就把这个角度 再增加2pi除以3,或者说8 pi除以12 我们要增加1,2,3,4,5, 6,7,8 份。 我们达到这里 这个在概念上如何理解? 这个数的1次幂在这里 这个是我们这里的蓝色的原先的这个值 如果要求它的2次幂, 你要把这个角度增加2/3 pi 把角度增加到这里 计算到3次幂的时候, 你要把角度增加2/3 pi,到这里 4次幂,回到这里 5次,6次,7次,8次,9次, 10次,11次,12次,13次,14次,15次,16次,17次 18次,19次,20次方算下来到这里