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主要内容

复平面

了解复平面是什么以及它是如何用于表示复数的。
虚数单位,即 i,是符合以下规定的数:
  • i2=1
  • 1=i
复数是任何可以写成 a+bi 形式的数,其中 i 是虚数单位,ab 是实数。
a 叫做数字的 实数 部分, b 叫做数字的 虚数 部分.

复平面

正如我们用实数线来表现实数集,我们可以用复平面表现复数集。
复平面 由两条呈直角并在点 (0,0) 相交的数轴组成。
水平的数轴 (即笛卡尔平面上的 x-轴) 是 实轴
垂直的数轴 (即笛卡尔平面上的 y-轴) 是 虚轴

标绘复数

每个复数都可以用复平面上的一个点表示。
以复数 35i 为例。这个数也可以表达为 3+(5)i,它有实部 3 和虚部 5
此数在复平面上的位置是在实轴上对应 3 和虚轴上对应 5 的那个点。
因此,虚数 3+(5)i 在复平面上对应的点是 (3,5)。通常,复数 a+bi 与复平面上的点 (a,b) 相对应。

练习

问题1
绘出复数 4+7i

问题2
绘出复数 6i+1

问题3
绘出复数 i3

问题 4
绘出复数 4i

问题5
绘出复数 7

与实数线的联系

在毕达哥拉斯(古希腊数学家)时代,无理数的存在是一个惊人的发现!他们好奇怎么会有像 2 这样无法用一个精确完整的小数表示的数字存在。
然而,实数线帮助解决了这个难题。为什么呢?因为 2 在实数线上占一个具体的位置,表明它确实是一个实数。(如果你将一个单位正方形的对角线一端放在 0 的位置,那么其另一端相对应的就是数 2。)
同样,每个复数也确实存在,因为它在复平面上有相应的精确位置。也许通过画图表示这些数字,我们能了解到,“虚”数这个名字其实是个误称。
复数不仅存在,而且是数学中很重要的一部分。实数线其实就是复平面上的实轴,而在那条线之外海阔天空!

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