主要内容
复平面
了解复平面是什么以及它是如何用于表示复数的。
虚数单位,即 ,是符合以下规定的数:
复数是任何可以写成 形式的数,其中 是虚数单位, 和 是实数。
复平面
正如我们用实数线来表现实数集,我们可以用复平面表现复数集。
复平面 由两条呈直角并在点 相交的数轴组成。
水平的数轴 (即笛卡尔平面上的 -轴) 是 实轴。
垂直的数轴 (即笛卡尔平面上的 -轴) 是 虚轴。
标绘复数
每个复数都可以用复平面上的一个点表示。
以复数 为例。这个数也可以表达为 ,它有实部 和虚部 。
此数在复平面上的位置是在实轴上对应 和虚轴上对应 的那个点。
因此,虚数 在复平面上对应的点是 。通常,复数 与复平面上的点 相对应。
练习
与实数线的联系
在毕达哥拉斯(古希腊数学家)时代,无理数的存在是一个惊人的发现!他们好奇怎么会有像 这样无法用一个精确完整的小数表示的数字存在。
然而,实数线帮助解决了这个难题。为什么呢?因为 在实数线上占一个具体的位置,表明它确实是一个实数。(如果你将一个单位正方形的对角线一端放在 的位置,那么其另一端相对应的就是数 。)
同样,每个复数也确实存在,因为它在复平面上有相应的精确位置。也许通过画图表示这些数字,我们能了解到,“虚”数这个名字其实是个误称。
复数不仅存在,而且是数学中很重要的一部分。实数线其实就是复平面上的实轴,而在那条线之外海阔天空!