虚数单位的幂

现在我们已经看到对 i 进行幕次越来越高的乘方运算，其结果可能是 1，i， －1，－i，然后又回到 1，i，－1，－i。 我们现在来做些练习， 也许就是所谓的难题。 可能看起来是这样。 解题时如果你能利用 i 的 乘方值就在这几个数里循环 的规律，也是有意思的。 如果利用这个规律，可以不费力 就算出 i 的 任意高的次方。 现在我们先来试一下， 计算 i 的 100 次方。 这里关键是 100 是 4 的倍数。 因此可以说这等同于 i 的 4 乘以 25 次方。 而根据指数乘方的性质，它也 就是 i 的 4 次方的结果的 25 次方。 如果计算某数的一个指数次方， 然后用其结果再算另一个指数次方， 就等于算该数的两个指数的积次方。 我们要计算 i 的 4 次方， 很容易。 i 的 4 次方 就是 1。 i 的平方是 －1，再平方得 1。 因此这就等于 1 的 25 次方， 就只能等于 1。 这里我们又利用了 i 的乘方值 的循环性质，这样就能 算出 i 的很高次方值。 现在我们来算稍微怪的题。 我们算 i 的 501 次方。 现在，501 不是 4 的倍数。 所以你不能完全抄上一题的方法。 但是你可以把它分解成 两个因数相乘，而其中一个 因数的指数是 4 的倍数, 当然另一个 i 的指数不是 4 的倍数。 因此你可以把原式重写一下。 500 是 4 的 倍数。 所以原式可写成 i 的 500 次方 乘以 i。 对不对？ 底数都是 i。 当两个同底乘方数相乘，它们的指数相加。 这还是 i 的 501 次方。 我们知道这等于 － i 的 500 次方就是 i 的 4 次方的 125 次方。 4 乘以什么等于 500？ 4 乘以 125 得 500。 所以这部分就在这里。i 的 500 次方 等于 i 的 4 次方 的 125 次方。 然后再乘以 i 的一次方。 i 的 4 次方就是等于 1。 1 的 125 次方还是等于 1。 这第一项整个就是 1。 我们就只剩下 i 的 1 次方。 所以就等于 i。 原来看起来是很吓人的题目， 似乎要很费时间, 但是利用 i 的乘方值循环的性质, 发现 i 的 500 次方就等于 1。 所以 i 的 501 次方就等于 i。 这样我可以写一个总结。 如果 i 的指数是任何 4 的倍数， 那么这个式子 等于 －这里的 k 应当为非负整数。 k 大于或等于 0。 因此如果 i 的任何 4 的倍数次方， 就会等于 1，因为 就相当于 i 的 4 次方的 k 次方, 而那就相当于 1 的 k 次方， 显然就等于 1。 如果我们的指数不是 4 的倍数 － 比如 说 i 的 4k 加 1 次方，或者 i 的 4k 加 2 次方， 那样我们就能用这里的方法。 我们再举几个例子， 说明如何对付有些 似乎没有头绪的问题。 试着求 i 的 7321 次方。 要解这一题，我们得认识到 7321 不是 4 的倍数，还有余数。 要能看得出， 7320 可以被 4 整除。 这是可以核实的。 然后就只有 余数 1。 因此原题等于 i 的 7320 次方 乘以 i。 这个数是 4 的 倍数， 因为 1000 是 4 的倍数， 100 也是 4 的倍数， 20 更是 4 的倍数。 所以这一项就简化为 1。 后面这一项 就是 i 的一次方。 7321 等于 7320 加上 1。 这一部分就化简为 1， 结果我们得到的是 i 的 一次方，或者说就是 i。 再举一个例子。 试着解一个有意思的题目。 i 的 99 次方。 同样的思路，小于 99 的 最大的 4 的倍数是多少？ 那就是 96。 所以它就等于 i 的 96 次方 乘以 i 的 3 次方，对吧？ 两个同底的乘方数相乘，可以把它们的指数相加， 就得到 i 的 99 次方。 其中 i 的 96 次方， 因为是 4 的 倍数， 就可以看成 i 的 4 次方的 16 次方。 那就是 1 的 16 次方，因此就是 1。 这样只剩下 i 的 3 次方。 你可能还 记得 i 的 3 次 方 等于 －i。 当然你如果不记得了，也可以把 i 的 3 次方 看成 i 平方乘以 i。 这就等于 i 平方乘以 i。 i 平方根据定义就等于 －1。 所以结果就等于 －i。 再做一题简单的。 求 i 的 38 次方。 同样的方法，这等于 i 的 36 次方乘以 i 的平方。 把 i 的 36 次方分出来，因为这是 38 里面最大的 4 的倍数。 38 去掉 36 后剩下 2。 i 的 36 次方化简后等于 1， 而剩下的 i 平方等于 －1。