i 作为 -1 的主根

学数学的时候 很有可能会碰到有人说 i为-1的算术平方根 这是错误的 问他们为什么说这是错的 他们会拿出一些看似合理的理由 他们会说 好吧 从-1开始 根据定义 -1=i?i 这没有问题 然后他们会说 那好 既然这个是对的 那我们可以用根号-1替换掉i 没错 这等于根号-1乘以根号-1 没错 这等于根号-1乘以根号-1 然后根据算术平方根的性质 然后根据算术平方根的性质 于是有 根号(a?b)等于 a的算术平方根乘以b的算术平方根 反过来 a的算术平方根乘以b的算术平方根 也就等于ab的算术平方根 根据算术平方根的这种性质 他们会说 这等于根号下((-1)?(-1)) 两数相乘的算术平方根 等于两数单独算术平方根的乘积 反过来也是一样 这里 乘积的算术平方根在右侧 根据这个 我们知道-1?(-1)=1 所以整个等于1的算术平方根 这是1的算术平方根 也就是正平方根 所以它等于正1 于是 他们说 这显然错了 -1和1怎么可能相等呢 因此 不能说i=根号-1 不过我要指出的是 这一步并没有错 虽然-1确实不等于1 但问题在于 这一性质 不应该在ab同时为负时使用 ab同时为负 这并不正确 该性质的前提是 a和b不同时为负 其实 一般给出此性质时 都会有一些不起眼的附注 都会有一些不起眼的附注 指出限制条件是 a和b大于等于0 这个性质是在a和b都大于等于0时给出的 That's where they list this property. This is true for a and b ≥ 0 特别地 如果a和b同时为负 这是不对的 我花了三分钟时间说明 说这错了的人 自己是错的 话虽如此 使用时还是需要小心 算一般的算术平方根时 比如求4的算术平方根 结果是+2 但4有两个平方根 -2也是4的平方根 -2乘以-2也是4 这个根号表示算术平方根 不考虑虚数和复数时 这表示正的平方根 4有两个平方根 正2和负2 但如果写的是这个根号 表示正的平方根 即2 所以 考虑取负数的平方根时 甚至虚数或复数的平方根时 必须扩展这个根号的定义 对任何负数进行开方运算时 这表示已经不再是原来意义上的平方根函数了 现在 这是一个复的算术平方根函数 其取值范围是复数 而且求出的值也可以是复数 而且求出的值也可以是复数 这样假设的话 从这个 我们能够知道 根号-x等于i乘以根号x 我需要把条件注明了 a和b同时为负时这不成立 所以这只在x≥0时成立 x≥0时 -x显然是负数 或者0 这才能使用这个式子 如果x<0 这一切都是胡扯 得到的答案没有意义 如果i可以写成-1的平方根 取复平方根函数的正支 那么这就可以写成根号-1 乘以根号x -1=1真正出错的地方在于 当a和b同时为负时 使用了这一性质 这毫无疑问是错误的 扩展算术平方根的定义 让其能够 处理负数和虚数 然后就可以这样 -x的算术平方根 等于-1的算术平方根乘以x的算术平方根 等于-1的算术平方根乘以x的算术平方根 当x≥0时成立 别搞糊涂了 x≥0时 -x显然是非正数 本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org