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预备微积分

课程: 预备微积分 > 单元 4

课程 3: 初等矩阵行运算

矩阵行运算

学习如何进行矩阵初等行运算。这些运算将允许我们解决带点（相对）小麻烦的复杂的线性系统！

矩阵行的计算

以下表格总结三个基本 矩阵行的计算

矩阵行的运算	例子
交换任意两行

\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rr} 3 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}] \\ (交换第一行和第二行。) \end{aligned}

将一行乘以一个非零的常数 |

\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \\ (第一行变成原来的三倍。) \end{aligned}

将一行与另一行相加 |

\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 2 & 5 & 3 \\ 3 + 2 & 4 + 5 & 6 + 3 \end{array}] \\ (第二行变成第一行与第二行的和。) \end{aligned}

矩阵行的计算可以用来解方程组，但在讨论为什么之前，让我们练习这些技巧。

交换任意两行

例题

对以下矩阵进行

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

行的计算。

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

解法

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

表示将第

1

行和第

2

行互换。

因此矩阵

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

就变成了

[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

。

有时会见到以下注解指名这种变化。

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}] \overset{R_{1} \leftrightarrow R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

请注意第

1

行是怎样代替第

2

行，第

2

行是怎样代替第

1

行。第三行不变。

问题1

对以下矩阵进行 $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$ ‍ 行的计算。

[\begin{array}{rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array}]

将一行乘以非零的常数

例题

对以下矩阵进行

3 R_{2} \to R_{2}

行的计算。

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

解法

3 R_{2} \to R_{2}

表示把第

2

行变成

3

乘以自身。

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

变成

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

我们通常用一下形式来表示这个矩阵行的计算：

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] \overset{3 R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

请注意，在这里第二行的三倍代替了第二行。其它行不变。

问题3

对以下矩阵进行 $2 R_{1} \to R_{1}$ ‍ 行的计算。

[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array}]

将一行与另一行相加

例题

对以下矩阵进行

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

行的计算。

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

解法

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

表示把第

2

行变成第

1

行和第

2

行的和。

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

变成

[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 + 0 & 3 + 8 & 4 + 1 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

我们可以用一下形式来表示这个矩阵行的计算：

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}] \overset{R_{1} + R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

请注意，第

1

行与第

2

行的和代替了第

2

行。其它行不变。

问题5

对以下矩阵进行 $R_{1} + R_{3} \to R_{3}$ ‍ 行的计算。

[\begin{array}{rrr} - 1 & 6 & - 2 \\ - 3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array}]

挑战题

对以下矩阵进行 $R_{1} + 2 R_{3} \to R_{1}$ ‍ 行的计算。

[\begin{array}{rrr} - 5 & 7 & 3 \\ - 2 & - 1 & 4 \\ 8 & 8 & - 6 \end{array}]

方程组和矩阵行的计算

记得在一个增广矩阵以内，每行代表方程组的一个等式而每个列代表一个变数或常数。

例如，左边的方程组与右边的增广矩阵相对应。

方程组	矩阵
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

当解增广矩阵的时候，我们可以用任意矩阵行的计算方法来产生一个新的增广矩阵，来产生一个相等的方程组。咱们看看为什么。

交换任意两行

等效方程组	增广矩阵
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} 2 x + 5 y & = 6 \\ 1 x + 3 y & = 5 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{array}]$ ‍

以上表格中的两个方程组是相等的，因为等式的顺序没有关系。因此，当用增广矩阵解方程组时，我们可以 交换任意两行。

将一行乘以非零的常数

我们可以将等式的两边乘以同一个非零的常数而得到相等的等式。

在解方程式组时，我们经常这样把一个变数去掉。因为两个等式是相等的，我们知道两个方程组也是相等的。

等效方程组	增广矩阵
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

这就是说，当我们用增广矩阵解方程组时，我们可以将任意行乘以非零的常数。

将一行与另一行相加

我们知道可以在一个等式的两边加相等的数而得到相等的等式。

所以如果

A = B

和

C = D

，那么

A + C = B + D

。

我们解方程组时经常会用这个方法。例如，在这个方程组

\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}

，我们可以将两个等式相加而得到

- y = - 4

。

将这个新的等式和原来的等式配对就产生一个相等的方程组。

[为什么要保留原来的一个等式？]

等效方程组	增广矩阵
$\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 0 x + (- 1) y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 0 & - 1 & - 4 \end{array}]$ ‍

因此，当用增广矩阵解方程组时，我们可以将一行与另一行相加。

总结挑战问题

一系列的行计算被运用到矩阵

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

。以下表格显示每一步计算的结果。

根据每一步来排好行计算。

原来的矩阵：

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

1

请注意原来的矩阵与

\begin{aligned} 2 x + 2 y & = 10 \\ - 2 x - 3 y & = 3 \end{aligned}

相对应，而最终的矩阵与

\begin{aligned} x & = 18 \\ y & = - 13 \end{aligned}

相对应，而这就是最后的答案。

这个方程组完全是用增广矩阵与行计算来解答的！

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