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主要内容

矩阵变换

学习 2X2 的矩阵如何做平面变换的。

介绍

如果我们把矩阵看做空间的变换,它就会给我们带来对矩阵运算更深的理解。这个视角有助于我们对矩阵运算,如乘法,的定义。同时,它给我们一个很好的借口去画漂亮的图片。这些材料和线性代数有重合之处(通常为大学内容)

乘法作为变换

"变换" 的想法最初看起来可能会比真正的情况复杂得多,所以在开始讲解 2×22-维空间的变换,或者 3×3 矩阵在 3-维空间变换前,我们先看看简单的数字 (即 1×1 的矩阵) 可以被看做 1-维空间上的变换。
"1-维空间"只是一个简单的数轴。
数轴
当你把整个数轴上的数都乘以一个值,例如 2, 会发生什么呢?以下是一种可能的可视化方法:
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我们保留原本的数轴作为参考,然后把所有的数字沿着数轴滑动到 2 倍原本的数值。
类似地,可以这样可视化乘以 12
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同时,不忽略负数,这是乘以 3 的结果:
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对于那些喜欢花哨术语的人来说,这些动画化的变化可以被称作 "1-维空间下的线性变换“。“变换” 这个词和 “函数”指的是同样的东西:一种输入是数字,输出也是数字的东西,就像 f(x)=2x。但是,虽然我们通常以画图的方式可视化函数,人们倾向于使用 “变换” 一词来表示你应该用一些东西的移动、伸展、挤压等可视化这个变化。所以,函数 f(x)=2x 以变换的形式可视化便带来了上面这个 "乘以 2" 的视频。 它把数轴上的 1 移动到了 2 开始的位置,把 2 移动到了 4 开始的位置,以此类推。
在我们开始讨论 2-维空间之前,有一个简单但重要的事实我们应该一直记住。假设你看了某个变换,知道这只是关于一些数字的乘法,但是并不知道具体的数字是多少,像这一个例子:
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你可以通过 顺着 1 的方式轻松地找出这个数字。在这个情况下,1 落在 3 开始的位置,所以你可以判断这个动画表示了乘以 3的情况。

线性变换在 2 维空间是什么样子?

一个 2-维空间线性变换是一个特殊的将 2-维向量转换成 [xy] 另一个 2-维向量的函数。和之前一样, “变换” 一词表明我们应该想想将某些东西在空间中滑动,在这个例子中是 2-维空间。下面是一些示例:
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为了我们的目的,变换被称作线性变换前必须满足下面的几何规则:原点必须固定,同时所有直线必须保持直线。因此以上动画中所有的变换都是线性,但是接下来这个例子不是:
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关注线性变换中的特定向量

想象你正在观察某一个变换,就像这个
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你要怎么样把他描述给你的另一个没有看相同动画的朋友?你无法继续使用一个数字去描述它,就像之前我们之前用 1 在一维空间中一样。 为了不跟丢任何东西,让我们把一个绿箭头放在 [10]之上, 把一个红箭头放在 [01], 同时把原本的格子的一个副本固定在背景上。
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现在在去看东西坐落的地方就容易多了。例如,再看一次动画,并将注意力集中在 [11]上,我们可以更容易地跟着它并注意到它落在了 [42]上。
我们可以用以下的符号表示上面的变换:
[11][42]
练习题:如果平面经过视频中所示变换,点 [10] 最终落在哪里?
选出正确答案:

练习题:即使屏幕已经显示不了这个点, 你能预测[30]最终落在哪了吗?
选出正确答案:

注意到向量[20], 起点在 2 倍原本的绿箭头外,在变换后仍然落在 2 绿箭头两倍之外。因为绿箭头落在了 [12],我们可以以此推断
[20]2[12]=[24].
在一般情况下
[x0]=x[10]x[12]=[x2x]
相似地,整个 y-轴的落点由红色箭头 [01] 的落点决定,在这个变换下是 [30]
练习题:在平面经历了上面的变换之后,[0y] 这个在 y-轴上的一般点会落在哪?
选出正确答案:

事实上, 一旦我们知道 [10][01] 落在哪,我们可以推断任何点会落在哪。例如,让我们在动画中跟着这个点 [12]
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它起始于 1 乘以绿箭头加上 2 乘以红箭头,但它也结束在 1 乘以绿箭头加上 2 乘以红箭头在变换之后的落点,这意味着
1[12]+2[30]=[52]
这种可以在变换前后按照其部分分解向量的特殊性质便是 线性 变换的特殊之处。
练习题:用相同的策略计算 [11] 的落点。
选出正确答案:

用矩阵表示二维线性变换

一般情况下,因为每个向量 [xy] 可以被分解为
[xy]=x[10]+y[01]
如果绿箭头 [10] 落在某个向量 [ac]上, 同时红箭头 [01] 落在 [bd]上, 那么向量 [xy] 一定会落在
x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]
一个描述线性变换的非常优美的方式便是用矩阵
A=[abcd]
在这里第一 告诉我们 [10] 的落点同时第二 告诉我们 [01] 的落点。现在我们可以以矩阵向量乘积的方式,表示任何向量 v=[xy] 的落点
Av=[ax+bycx+dy]
事实上,这便是矩阵向量乘积的定义的源头
所以,与 1-维线性变换可以被某些数字的乘积所表示,即任意 1 的落点表示的,2-维线性变换也可以用同样的方式被表示为 2×2矩阵,即一个第一列表示 [10] 的落点,同时第二列表示 [01] 的落点的东西。

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