矩阵乘法的结合律

在本视频中，我要做的是 显示矩阵乘法是按照符合结合律的 至少，我会显示，对于2x2矩阵是如此 本视频中，你可以把它 延伸到任何的矩阵 任何要进行乘法运算的矩阵 我们来看一下3个矩阵 第一个矩阵是A,B,C,D 第二个是E,F,G,H 最后第三个矩阵是I,J, I不是虚数单位，I 就是符号I 这个不是E，是符号E J,K和L。我想看2个情况 我把它抄在这里 抄下来 我们先看第一个情况 我把橙色和黄色的矩阵相乘 然后，把它和紫色矩阵相乘 然后，另外一个情况是 我先讲黄色和紫色矩阵相乘， 然后再乘以橙色矩阵 我们看下是否两个乘积，两个I在乘法中的位置不一样， 的结果是否一样，如果一样 那么我们就证明了至少对于2x2矩阵矩阵乘法符合结合律 如果我们已经看到它们是不能交换的 我们来看看是否符合结合律 实际上，我已经给了你结论了 但是我们还是运算一下来实际看下 我鼓励你暂停视频， 试着自行研究一下 看看是否能够得到 我刚刚说会得到的结论 好，我们先把这两个相乘 对于这个乘积，我写的大些， 它会是 AE+BG，然后AF+BH 然后是CE+DG 然后，最后是CF+DH 我们再将这个乘以这个矩阵 I,J,K,L,得到结果是多少？ 我腾些地方来做运算 这个需要大点的空间 运算下来应该是这个 乘以I，我们可以写成， 实际上，我们先把I分配给不同项 IAE + IBG + 加上这项 乘以K，+ KAF + KBH. 空间有些不够用 我写这里，继续， 然后，我们乘这个 我们需要考虑这行和这列 第一行，第二列， 你会得到JAE + JBG + LAF + LBH 所以，这些矩阵比我想象的要大 然后，这里， 你需要把这个乘以这个，加上这个乘以这个 所以，得到ICE + IDG + KCF + KDH 最后，这个乘以这个，加上这个乘以这个 或者这个乘以这个，加上这个乘以这个 所以，得到 JCE + JDG + LCF + LDH, 好，现在，再看下这个 这个乘积结果是多少？ 如果我先把这两个相乘 得到的是EI + FK + EJ， 下面个是EJ+FL 然后是GI+HK，然后最后，GJ+HL 然后，这些乘以ABCD A,B,C,D，我需要点空间 我们在下面做，用绿色 实际上，我可以往下一些 可能更好 我会得到什么？A乘以这个 加上B乘以这个，得到AEI + AFK + BGI + BHK, 然后，你会得到这行和这列 所以，是AEJ + AFL + BGJ + BHL, 现在，要用C乘以这个加D乘以这个 得到CEI + CFK + DGI + DHK 最后，C乘以这个加上D乘以这个 得到CEJ + CFL,然后是 + DGJ + DHL, 现在，这两个矩阵相等嘛？ 我们一项一项地比一下 这个，IAE等于AEI 因为我们知道，标量乘法是符合交换律的 现在IBJ或者IBG，我们可以发现它们，然后 这里KAF，这里也有，等同于AFK 然后KBH，这个等同BHK 你可以一项一项检查，实际上， 我们做一下，我们加快一下速度 ICE和CEI一样 IDG和DGI一样 KCF和CFK一样 KDH和DHK一样 我们来看第二列 JAE，AEJ，JBG，等同于BGJ， LAF等于AFL LBH等于BHL 最后，JCE等于CEJ JDG等于DGJ LEF，还是LCF？ 我们看看， LDH在这里 所以，这个一定是LCF，等同于CFL 这里是LCF嘛？我们确定一下 因为它有可能会 破坏我们的推导，所以，这里这个项 应该是，它是由第二行和第二列 相乘得到的 我们应该得到JCE+JDG 然后有LCF，是的，是LCF+LDH 然后你会看到 这两个是一样的， 无论我先乘前两个，再乘第三个 还是先乘第二和第三项，最后 乘第一项， 再次，这个是结合律 我把它们放同样的顺序 顺序重要，但是我们看到，我们可以应用结合律 我们可以先乘前两个， 也可以先做后面两项