单位矩阵简介

在你许多许多年前， 第一次学乘法时， 你接触到了这样一个概念：1乘以… 我不应该这样写乘号… 1乘以任何数，结果都还是那个数。 这很符合直觉。 这相对于是说：1个x 等于x。 你可以认为1的这个性质， 体现了普通乘法， 或者说标量乘法 所具有的“单位律”。 乘法具有“单位律”： 1乘以任何数，结果都还是那个数。 而我们现在所考察是矩阵， 以及矩阵乘法。 那么问题来了，是否存在某种 对矩阵乘法而言，具有类似性质的矩阵？ 说得更具体一点： 是否存在某个矩阵 I， 让我尽可能把这个字母写粗一点， 是否存在某个矩阵 I，我们用它 乘以任何其他矩阵… 我好像把这个 I 写得过于粗了， 不过就这样吧。 如果我用它乘以任意一个其他矩阵 A， 按照矩阵乘法的基本运算法则， 其结果还是矩阵 A？ 为了让问题更具体一点， 我们不妨取一个具体的 A， 我们不妨设想 A 是一个 3×3 的矩阵： 1，2，3；4，5，6；7，8，9。 我建议你现在暂停视频， 试试看能否自行构造出 一个符合条件的 I。 至少，你应该先想想 I 的尺寸应该是怎样的， 当你做这样的矩阵乘法时， 假如你希望用 I 乘以 A， 结果仍然是 A 的话。 好了，我想你应该已经自己尝试过了， 现在让我们一起想一想。 让我先把 A 搬到下面来。 复制，黏贴。 我们先来考虑一下 I 的尺寸应该是怎样的。 条件是：当我用矩阵 I 乘以此处的矩阵 A 时， 结果还得是 A。 我是在用一个矩阵乘以一个 3×3 矩阵， 而且结果也是一个 3×3 矩阵。 关于矩阵乘法，我们已经有一些背景知识。 首先，为了让这个乘法符合矩阵乘法的 基本定义， 这个单位矩阵的列数 需要等于矩阵 A 的行数。 我们已经知道 A 有 3 行， 所以这个单位矩阵， 需要有 3 列。 它的列数需要是 3。 与其同时，我们还知道， 最终得到的矩阵的行数 取决于乘法中第一个矩阵的行数。 所以矩阵 I 也得是一个 3×3 矩阵。 当然，最终结果的列数， 取决于乘法中第二个矩阵的列数 所以这里，是被这里所决定的。 综上所述，中间这两个需要一致， 第一个矩阵的行数， 决定结果的行数， 第二个矩阵的列数， 决定结果的列数。 于是我们知道了 I 的尺寸是 3×3。 我们还知道什么？ 我们还知道这个乘法的结果需要等于什么。 它也需要等于：1，2，3；4，5，6；7，8，9。 我们来想一想， 为了计算此处的元， 我们需要用这一行， 乘以这一列， 也就是求两者的点积。 我需要用某个数乘以1的积， 加上另一个数乘以4的积， 再加上另一个数乘以7的积，最后得1。 让我们设想一种最为， 我们或许可以说，最为天真的可能性： 假如我们就用 1 乘以此处的 1，得1， 然后加上0乘以4的积， 再加上0乘以7的积。 看起来能行。 在这个乘法中， 此处的这个元将等于1×1， 1×1加上0×4， 0×4，再加上0×7， 加上0×7。 毫无问题， 不过我们还得确认一下其他元的情况。 当我们用这一行乘以这一列， 来计算这个元时会得到什么？ 结果也对得上。 它等于 1×2+0×5+0×8， 这很合理， 你得到的还是2。 第三列也同理。 1×3 + 0×6 + 0×9 = 3。 现在我们怎么处理第二行？ 我们来想想看。 第二行的内容将会 决定我们在此处会得到什么结果。 比如，为了计算这个元， 我们需要用这一行， 用这一行乘以这一列， 乘以这一列。 我们希望结果是4， 也可以说， 我们只想要中间这个元， 于是我们可以用 0×1 + 1×4 + 0×7， 来最终得到4。 这也适用于旁边这个元。 0×2 + 1×5 + 0×8， 得到5。 剩下的这个元也同理。 现在，只剩 最后这一行了。 要算这一行，我们需要用 这一行乘以这些列， 或者说计算它们的点积。 为得到7， 我们需要用这一行乘以这一列， 亦即求这一行和这一列的点积。 为了得到7，我们可以用 0×1， 加上 0×4，再加上1×7。 像这样，没问题。 这样就算得这个元为7。 计算这一行与这一列的点积， 我们会算得这个元为8。 计算这一行与这一列的点积， 结果是9。 这个元等于9。 如此一来，我们就构造了 一个3×3的单位矩阵。 所以3×3的单位矩阵等于 1，0，0；0，1，0； 0，0，1。 你将会看到，每当你构造 单位矩阵时， 比方说如果你要构造一个2×2的单位矩阵， 我们可以叫它单位矩阵，下标2×2， 它的形式将是一样的。 它将是1，0；0，1。 假如你想要一个4×4单位矩阵， 你可以猜到，它将等于： 1，0，0，0；0，1，0，0；0，0，1，0；0，0，0，1。 它们的共同特征是从左上角到右下角 的对角线上写满了1。 单位矩阵的妙处在于， 你用它乘以任何矩阵， 结果还是那个矩阵。 现在我建议你做另一个尝试。 我们刚才所呈现的，是 I × A = A。 请在看完这个视频之后， 考虑一下 A × I 会怎样？ 我们已经看到过，在矩阵乘法中， 次序是重要的。 所以在这里会怎样？ 假如你用 A 乘以 I，你还会得到 A 吗？