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课程: 预备微积分 > 单元 4

课程 2: 用增广矩阵表示线性方程组

用矩阵表示线性方程组

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学习如何用增广矩阵来表示线性方程组。

矩阵是一个包含多行多列的长方阵列排列的数字集合。

我们可以运用矩阵来求解方程组。首先，我们要知道如何用矩阵表示方程组。

用矩阵表示线性方程组

一个线性方程组可以用 增广矩阵来表示。

在增广矩阵中，每一行表示方程组中的一个等式，每一列表示一个变量系数或者常数。

由此可见，增广矩阵是一个方程组的速记方法。通过将数字组织到矩阵中，就不必再抄写诸如

x

、

y

和

=

之类的各种符号，但所有信息仍然存在!

检查你对内容的理解

1) 下面方程组可以用哪个矩阵表示？

\begin{aligned} 2 x + 3 y & = 8 \\ 5 x + 2 y & = 2 \end{aligned}

2) 写出下面方程组的增广矩阵表示方式。

\begin{aligned} 7 x + 4 y & = 3 \\ 6 x + 3 y & = 5 \end{aligned}

再看一个例子

我们已经有了基本概念，下面来看一个稍微复杂一点的例子。

例题

将下面的方程组写成增广矩阵形式。

$\begin{aligned} 3 x - 2 y & = 4 \\ x + 5 z & = - 3 \\ - 4 x - y + 3 z & = 0 \end{aligned}$ ‍

解法

为了简便易懂，我们要重新写一下这个方程组，以清楚地显示每个系数。如果一个方程中没有出现某个变量，意味着该变量的系数是

0

。

$\begin{aligned} 3 x & + (- 2) y + 0 z = 4 \\ 1 x & + 0 y + 5 z = - 3 \\ - 4 x & + (- 1) y + 3 z = 0 \end{aligned}$ ‍

改写后的方程组对应下面增广矩阵。

同样，每一列对应着一个变量的系数 (

x

y

z

) 或者

常数

。每一行对应着同一方程中的全部系数。

因此，在将方程组转化成增广矩阵之前，要确保每个方程中的变量排列顺序是相同的，且常数项只出现在方程的右侧。

检查你对内容的理解

3) 下面方程组可以用哪个矩阵表示？

\begin{aligned} 3 w - 2 x + y + 5 z & = 10 \\ w + 2 y - 4 z & = 5 \end{aligned}

在将方程组系数写入矩阵之前，确保你已经对变量进行对齐重新排列了。

为了简便起见，我们先重新写一下方程组，以清楚地显示每个系数。

\begin{aligned} 3 w & + (- 2) x + 1 y + 5 z = 10 \\ 1 w & + 0 x + 2 y + (- 4) z = 5 \end{aligned}

现在我们可以看到，这对应于下面的增广矩阵：

[\begin{array}{rr} 3 & - 2 & 1 & 5 & 10 \\ 1 & 0 & 2 & - 4 & 5 \end{array}]

这是第一个选项。

请注意，第二个选项只是简单对系数进行排列， 而没有 对齐每列中的变量。

4) 写出下面方程组的增广矩阵表示方式。

$\begin{aligned} - a + b - 2 c & = 12 \\ 3 a + b & = - 8 \end{aligned}$ ‍

挑战题

5*) 下面的矩阵表示的是哪个方程组？

[\begin{array}{rr} 0 & - 3 & - 5 & 8 \\ 4 & 1 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]

6) 下面方程组可以用哪个矩阵表示？

\begin{aligned} 3 x + 2 & = 12 y \\ - 8 y & = 2 x + 15 \end{aligned}

此问题的不同之处在于，方程组中的每个方程都不是以标准形式出现的。我们得先以标准形式重写每个方程，这将有助于对齐变量和常数。

用标准形式写出第一个方程式如下：

$3 x + 2 = 12 y ⟶ 3 x - 12 y = - 2$ ‍

将第二个方程写成标准形式如下：

$- 8 y = 2 x + 15 ⟶ - 2 x - 8 y = 15$ ‍

现在方程组是这样的：

\begin{aligned} 3 x & + (- 12) y = - 2 \\ - 2 x & + (- 8) y = 15 \end{aligned}

改写后的方程组对应下面的增广矩阵，即矩阵

C

。

[\begin{array}{rr} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & - 8 & 15 \end{array}]

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