用矩阵表示线性方程组

我有一个由 2 个方程组成的系统 这里有 2 个未知数 我们曾经做过类似的题 用了多种小技巧 置换法，消元法 我们也可以在这应用 事实上，你可以直接把这两个相加 两道方程的左边 和右边 s 会抵消掉 我们直接开解 看看有多么简单粗暴 最起码这个例子是这样的 你把左边的部分相加 这被抵消掉了 剩下的是 -t... -t 等于 7 加 -6 等于 1 或者你得到的是 t 等于 -1... t 等于 -1 假若 t 等于 -1 这上面的方程，你也可以用另一个 可以被简写成 2 乘以 s -5 乘以 -1 等于正5... 正5 等于 7 等于... 让我用和这边一样的颜色 等于 7，或者，我们可以心算一下 2s 一定是等于 2，然后 s 等于 1 2 乘以 1 加 5 等于 7 现在我们就获得了 s 等于 1 这很简单粗暴吧 我们在这视频将 展现相同的系统 不过我们本质上把这展现为 一个矩阵方程 我们要用逆矩阵来解决它 我先给你一些小预警 这会更加复杂 这会花费我们更多时间 你可能会说了 “我们为什么一定要淌这趟浑水呢？” 我们将要在这视频里完成的东西的价值是 对你的计算法非常有帮助 你可能会解决几乎相同的系统 一遍又一遍 或许左边部分是一样的 右边部分在不断变化 这或许是一些你可能已经看过的东西 当你在编写游戏程序的时候 或者当你在解决某些电脑问题的时候 这是一个普遍的主题 矩阵大部分的价值是 它们是展现问题的方法 数学上的问题 展示数据的方法 我们可以用矩阵运算，矩阵方程 以适当的方式对它们进行本质上的操作 假如我们，大部分上，在编程的时候 或者其他像电脑程序的东西 所以，和我一起忍受，你最终会享受它的 关于我们等下要做的事情 有一天你会看到这真的挺有用的 第一件我们需要了解或者欣赏的事情是 这个能以矩阵方程的形式展现 我现在要去 把这里的系数 我现在要把这里的系数 所以，2，-5 2，-5 -2 -2 和 4，正4 我现在只是写下了这里的系数 然后我会说这个乘以列向量... 列向量 s t s 和 t 会等于 列向量7，-6 7，-6 和这里的数字完全一样 这些代表着相同约束 对变量 s 和 t 你会说：”等一下，我还不怎么懂。“ 如果你说你不怎么懂 把这个相乘出来 相乘出来之后想想 当你将其相乘时，它们需要等于哪几个项 你会看到这个项，第一行，第一列 这会是这一行 我们会和这行还有那列打交道 如果你好好想想，这告诉我们 2 乘以 s 2 乘 s 加 -5 乘 t 我就可以说 -5 乘 t 一定是等于这第一个项 第一行，第一列 等于 7 我只用了乘法 我处理了第一行，第一列，然后说 当我基本上拿走这里的点积时 不过你不知道点积是什么，没关系 我们会在其他地方解释这个 这基本上就是我刚刚在这里做的 这里的第一项乘以第一项 这里的第二项乘以第二项 然后我们把它们相加 这一定等于 7 可是当你这么做的时候 你基本上构建了第一道方程 如果你把相同的运用在第二行和这列时 你在构建第二道方程 你会得到 -2 乘以 s... -2 乘以 s 加上 4 乘以 t... 4 乘以 t 等于 -6 希望你可以欣赏这个有着 和那个一样的资料 我也可以用其他办法做这些 举个例子，你可以 不这么写 这个系统显然是相同的东西... 显然是相同的东西 其实我可以直接粘贴复制过来 是相同的东西... 粘贴和复制 和这个系统是相同的 我真的只是在移动 再来一次，粘贴和复制 很显然，我先写下了第二道 然后再写下了第一道 这很明显就是相同的系统 如果我想用这个系统去构建一道矩阵方程 我只需要移动行列 这第一行会是 -2，4 我会为了系数移动行 不过我的 s 和 t 的顺序保持不变 你可以做到这个 尝试一下展现这个 如一道矩阵方程 你的的矩阵就会是 -2，4，2，-5 然后这个会是 -6 和 7 但是现在我们已经设置好了这个 我们怎么才能解开类似的东西呢？ 我们做这些事情的意义是什么？ 让我们仔细思考一下，让我们从 字面上的矩阵方程来考虑它 假如说 A，矩阵A 是这个东西 这个东西是 矩阵A 假如说这里的这个东西 这是 列向量x 我会把这个写成 向量x 你有 列向量x 然后这边的这个东西 你可以说这等于 就叫它 列向量b 吧 这等于 列向量b 我们基本上说了 A 矩阵A 乘以 列向量x 等于... 等于 列向量b 让我把这个在这里再写一遍 只是为了强调一下 矩阵A 乘以 列向量x 会等同于 等于 列向量b 这就是他们所说的 当他们说到矩阵方程时 事实上，甚至在我们想到计算法 和计算机图形和所有这些东西之前 你会在物理学里看到很多和这一样的 当他们讲笼统的主题 或者他们甚至还没有深入 矩阵的次元 或者向量的次元 不过他们在谈论一些笼统的话题 比如说物理学 你会看到很多和这个一样的矩阵向量方程 当你探索到更深层次的科学 不过再一次 让我们再回到我们的核心问题 我们怎么才能解开这个呢？ 其中一种方法 我们早就看过，如果矩阵是可逆的 这代表有个 逆矩阵A 存在着 使 逆A 乘以 A 等于恒等式 等于单位矩阵 会发生什么，如果我们把方程两边的 左边部分都乘以 逆A？ 记住，顺序很重要 当我们乘以矩阵时 我们方程两边的左边部分 都乘以 逆A 我们就得到了 逆A 乘 A 乘 x 等于 逆A 记住，我现在是把方程两边的左边部分都乘以， 逆A 乘以 列向量b 那为什么这个会有趣呢？ 我们刚说了逆矩阵乘以 A 假设 A 是可逆的 这边的这个就会等于 单位矩阵 这就会是单位矩阵 乘以 列向量x 这个就会等于这些东西 这个就会等于那个 让我复制和粘贴一下 这个就会等于那个 那为什么这个会有趣呢？ 单位矩阵 乘以 其它一些矩阵 这个列向量本质上是个 2 x 1 矩阵 会再次等于这个列向量 让我们简化为我们的列向量 等于 我们的列向量等于逆矩阵 乘以列向量 或者我们的列向量x等于逆矩阵 乘以 列向量b 再一次强调为什么这个会有用 确实，你需要一路披荆斩棘 来算出 逆A 不过一旦你算出来了 你可以不断更换其他的b 这个是7，-6，不过你也可以有其他b 而且假如你在运行电脑程序 你想一遍又一遍地这样做 你只需要做多个矩阵乘法 我到这里就结束了 我意识到我快到10分钟了 我从不喜欢超过那个时长 在下一个视频里我们将实际计算 逆A 然后找出向量x的答案