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用矩阵解线性方程组

在把方程组表达成一个矩阵方程之后,Sal用系数矩阵的逆矩阵解出了矩阵方程。 Sal Khan 创建

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我们看到 我们可以采取2个方程组 包含2个未知数并展现 矩阵A是左边部分的 系数的矩阵方程 列向量x 有两个 未知数 s 和 t 然后 列向量b 基本上 展现了这里的右边部分 有趣的是 那就表示了方程A 矩阵A 乘以 列向量x 等于 列向量b 有趣的是 你看,假如 A 是可逆的 我们就可以把方程的两边 都乘以 我们要把两边的左边部分 都乘以 逆A 因为,记住矩阵 当矩阵乘法顺序很重要 我们要把两边的 左边部分都乘以 如果我们这么做了,我们基本上可以 解开未知的列向量了 如果我们知道列向量是什么了 我们就可以解开 s 和 t 我们就基本上解决了 这个方程组 让我们行动起来吧 让我们真正弄清楚 逆A 是什么 然后将那个乘以 列向量b 为了找出 列向量x 和 s 与 t 逆A矩阵, 逆A等于 1 除以 A的行列式 2x2 的 A的行列式 等于 2 乘 4 减 -2 乘 -5 这等于 8 减 正10... 8 减 正10 等于 -2 这就会等于 -2 再一次,2 乘 4 等于 8 减 -2 乘 -5 所以 减 正10 就得到了 -2 你可以将 行列式 分之 1 乘以 有时候被称之为A的伴随 本质上就是交换左上角 和右下角,起码 2x2 的矩阵是这样的 这会是 4 这会是 2 注意 我只是把这两个换了位置 然后 使这两个数字为负 把原本的数字再一次变负 这是负2 会变成正2 这边的这个 会变成正5 如果你完全和这些东西不熟悉 你可以去复习一下教程 关于反转矩阵 因为那就是我在这里做的 所以 逆A 会等于... 逆A会等于 让我看看,这是 -1/2 乘 4 是 -2 -1/2,-1/2 乘 5 是 -2.5,-2.5 然后 -1/2 乘 2 是 -1... -1/2 乘 2 是 -1 所以这就是 逆A 现在让我们把 逆A 乘以 列向量,7,-6 开解吧 这是 逆A,我会写下来 -2,-2.5,-1 -1 乘 7 和 -6 乘以,我会把它们全部用白色写下来 7,-6 我们有过很多矩阵乘法练习 所以这会等于? 第一项会是-2 乘 7 等于 -14 加 -2.5 乘 -6 让我看看,这会是个正数 这会是 12 加 3 这等于 正15... 正15 -2.5 乘 -6 等于 正15 然后我们会有 -1 乘 7 是 -7 加 -1 乘 -6 这是 正6 逆A 和 b 的结果 相同于 列向量x 等于 我们现在应该得到一点鼓声 列向量 1,-1 我们刚才证明了这等于 1,-1 或者 x 等于 1,-1 或者我们甚至可以说这个列向量 列向量st 有 s 和 t 作为项的列向量 等于1,-1... 等于1,-1 是另外一种说法 那 s 等于 1 和 t 等于 -1 我知道你在说 我在上一个视频里看到了 那好吧,我就再说一次 你就好像:“你知道么,这会简单很多 如果你简单粗暴地解开它 直接用消元法或者置换法。” 我同意,不过这是个很有用的技巧 因为当你正在解决 计算法中的问题时,会有情况发生 那组合的左边部分 是一样的 然而左边部分却可以有 其他很多不一样的值 可能会简单一点,如果你 只计算一次逆矩阵,然后 将其乘与 不一样的右边部分 你可能和其他类型已经熟悉了 你有图形处理器 电脑上的显卡 和他们所说的特殊的图形处理器 这些都是真正关于 有着特殊目的的硬件 为了很快的矩阵乘法 因为当你在处理图形时 当你在三次元里 建模事物时 你就是在做所有这些转变 你真的只是在做很多 特别,特别,特别快的矩阵乘法 在实时的情况下,所以在用户玩游戏时 或者做其他事情时 这就好像他们在一种 3D实时现实 无论如何,我只想指出这一点 这不会是,假如我偶然看到了这个 我的直觉会是用消元法解开这题 不过有把这个想成矩阵方程的能力 是特别,特别有用的概念 不只是在计算法里 当你接触到深层次的科学 特别是物理,你会看到很多 这样的矩阵向量方程 那种笼统地说 你要知道这很重要,关于 他们实际上代表着什么 以及他们到底怎样才能被解开