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主要内容
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简单的概率: 非蓝色弹珠

视频字幕

我们来做一下概率论第一模块的几道练习题 某袋子里装有9颗红色弹珠 2颗蓝色弹珠 3颗绿色弹珠 在这个袋子中随机选取一颗弹珠 这颗弹珠不是蓝色的概率是多少? 我们在这里画一个袋子 这个就是啦 我们可以认为这个袋子是透明的 它看起来像个花瓶 里面有9个红色弹珠 那么我们画出9颗红色弹珠 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9颗弹珠 它们看起来像桔子 但实际上是弹珠 两颗蓝色弹珠 这是第一颗 第二颗蓝色弹珠 然后是三颗绿色弹珠 三颗绿色弹珠 把这三颗画出来 1颗 2颗 3颗 在这个袋子中随机选取一颗弹珠 这颗弹珠不是蓝色的概率是多少? 我们把它们混合起来 选每一颗的概率是相同的 你思考这个问题的思路就是 满足条件的随机事件一共有多少 我们首先找出所有可能发生的随机事件 一共有多少颗弹珠可供选择? 其实就是这些弹珠的总数 一共有1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14颗可供选择的弹珠 这就是所有可能发生的随机事件的总数 接下来我们要找出 满足条件的随机事件一共有多少? 你还可以用别的方法求出14 9+2+3=14 满足条件的随机事件一共有多少 我们的限制条件就是从袋子选取一个非蓝色的弹珠 也就是红色和绿色的弹珠 那么有多少非蓝色的弹珠? 我们可以从多个角度来考虑 你可以这样想 一共有14颗弹珠 两颗蓝色的 那么一共有14-2 12颗非蓝色弹珠 或者 你可以数一下 那么一共有12颗非蓝色弹珠 这就是非蓝色弹珠的数量 这就是满足条件的 随机事件的个数 比上总的随机事件个数 这不是最简形式 这个式子不是最简的形式 因为12和14都可以被2整除 那么我们将分子分母同除以2 得到6/7 所以从袋子中选择的弹珠是非蓝色 的概率是6/7 我们再来做一题 如果在下列数字中随机选择一个 这个数字是5的倍数的概率是多少? 这一次 我们还要找出 满足条件的随机事件 限制条件就是 这个数是5的倍数 可能发生的随机事件一共有多少? 我们来想一下 所有可能发生的事件 一共有多少件? 这其实就是可供我们选择的数字总数 有1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一共有12个 选择这12个中的每一个的概率都是相同的 这12个数字中哪一个是5的倍数呢? 我们换一种颜色来写 我们把是5的倍数的数标出来 32不是5的倍数 49不是5的倍数 55是5的倍数 其实我们只要找 个位数是5或0的数 55是5的倍数 30是5的倍数 等于6<i>5 55=11</i>5 56不是 28不是 很明显它等于5<i>10 它等于8</i>5 40和前一个数相同 也是8*5 这些都是5的倍数 45=9<i>5 很明显25=5</i>5 我把是5的倍数的数都圈起来了 在所有可能的事件中 满足是5的倍数的条件的事件 一共有1 2 3 4 5 6 7个 所以一共有7个满足条件 所以 在这道题中 随机选择的数是5的倍数的概率 是7/12 再来做一道题 某圆的周长是36π 我们画一下 这个圆这样 周长是36π 我可以画出一个比它更规整的圆 假如这个圆是这样的 它的周长 这里我们应该注意一下 这很有趣 周长是36π 题目还告诉我们 这个圆中 还有一个面积为16π的小圆 那么大圆中有一个小圆 这个小圆的面积是16π 在大圆里面随机选一个点 我们在大圆内随机选一个点 那么这个点也在小圆内 的概率是多少? 这看来有点意思 因为实际上 这两个圆中的点的个数都是无穷的 因为这不同于我们在第一题中看到的 分立的球或者弹珠 可供选择的点有无穷多个 所以当我们求某点 也在小圆内的概率时 我们实际上是求 某点位于大圆内 也位于小圆内的百分比 另一种思考方法就是 某点也位于小圆内的概率 也就是我们在大圆内取一个点 此点也位于小圆内的概率 实际上就是小圆 占大圆的百分比 我知道这可能听起来有点复杂 但是我们必须求出这两个圆的面积 答案就是它们之比 我们来求一下 你可能想直接用这里的36π 但是我们必须认识到 它是周长 我们需要求出这两个圆的面积 为了求出面积我们需要知道半径 因为面积等于π*R^2 我们可以通过题目给出的周长求出半径 周长等于 2<i>π</i>R 如果题目告诉我们周长是36π 它等于2<i>π</i>R 等式两边同时除以2π 等式左边 36除以2等于18 π和π消掉了 得到大圆的半径 等于18 大圆的半径是18 如果我们想求面积 它的面积等于π*R^2 等于π*18^2 我们来求一下18^2等于多少 18<i>18 8</i>8=64 8*1=8 再加6等于14 这里是0 因为这是十位数所在的位置 其实是10*10 这就是为什么是100了 等于324 所以面积等于π*324 或者324π 所以整个大圆的面积就是 我用黄色标出的阴影部分 包括用橙色标出的阴影部分 如果你想这样做 这个圆的面积是324π 那么某点 在大圆中而且在小圆中的概率是 大圆中小圆 所占的百分比 所以概率等于 我这样写 某点也在小圆中的 概率 所以我把这句话都放在括号里 它的概率等于 小圆占大圆的百分比 等于 小圆的面积比上大圆的面积 的分数 等于16π比324π π和π约掉了 而且这两个数都可以被4整除 分子除以4得到4 分母除以4得到什么? 4除320商80 4除4商1 所以等于81 我不是按比例来画的 如果按比例来画的话 这块面积要远远小于现在 在大圆中随机选择一个点 这个点也位于小圆内 的概率等于两个圆的面积之比 小圆与大圆的面积之比 等于4/81 我想这是最好的表示形式