If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容
当前时间:0:00总时长:11:17

视频字幕

对于第一次接触到排列和组合的人, 可能要费些心, 去适应它们,所以我认为 多举些例子永远没有坏处。 但每个更深入些的示例, 我都会回顾我们之前所做的, 同时也希望走的更远一些。 所以,让我们再做一个示例。 同样的, 之后我会用其他的例子, 不仅仅是坐在椅子上的人, 但是,现在让我们还用这个例子。 让我们说,我们又有6个人。 人A,B,C D,E,和F, 所以我们有6个人。 现在,让我们把他们安排到4把椅子上。 我们能相当快的算出这个, 1,2,3,4把椅子 我们已经见过很多次了。 有多少种方式,多少种排列, 去将这6人安排到4把椅子上? 嗯,第一把椅子,如果我们让他们按顺序坐下, 我们能,我们可以说,那儿有 6种可能。 对于这六种可能的每一种可能, 把人安排到这儿都有5种可能, 因为一个人已经坐下了。 对于安排前两个人的这30种可能 的每一种可能, 我们安排到第三把椅子上的人, 都有4种可能。 然后,对于这些可能,也就是120种可能性的每一种, 安排到第四把椅子上的人, 都会有3种可能。 这个6乘以5乘以4乘以3 就是排列数。 在之前关于排列的一个视频中,我们已经见到过了, 但我们说到排列的公式时, 一种形式是写成这样,如果我们想写成阶乘的形式, 我们可以写成, 6!,6!也就是等于 6乘以5乘以4 乘以3乘以2乘以1, 但我们不想要2乘以1, 我们要除以它, 我们要除以它, 现在,2乘以1是什么? 2乘以1是2! 我们是从哪里知道的? 我们想要前4个, 6!的前4个因数。 4就是从这里来的, 我们想要前4个因数,所以我们得到2的方法就是, 我们说过的6减去4. 6减去4, 将给我们那个数字, 那个我们想去掉的数目。 我们想去掉的2 或者说我们想去掉的因数。 那将给我们2!。 如果我们用(6-4)!, 这会得到2!, 也就是2乘以1. 然后这些消去了,我们做完了。 这是一种方式,我在这儿用了具体的数字, 但这是对排列公式的回顾, 也就是,“如果我有n,“ ”如果我有n个东西,然后我想算出,” ”有多少种排列“ ”关于把它们安排到k个地方,“ ”它将等于n!" "除以(n-k)!。“ 我们在这里就是这么做的。 在这里n是6, k是4, k=4. 实际上,让我用颜色标记所有的东西, 这样我们就能看到相似的地方了。 所有这些都是回顾。 然后,我们现在进入组合的世界。 在组合的世界, 我们说,排列区分了 谁坐在了哪把椅子上。 例如,在排列的世界, 这些都是回顾,我们在关于组合的视频中, 包含了排列的知识。在排列的世界里, A,B,C,D 和D,A,B,C 这会是两个不同的排列, 它是考虑是在哪把椅子上的。 这是什么, 这是30乘以12。 等于360. 这些每一个,都是一个排列, 这是另一个排列, 并且,如果我们继续这么做,我们能数到360。 但,当我们学到组合时, 当我们考虑组合时, 让我写下组合, 如果我们说,从n个中选出, 从n个中选出k个, 这样会有多少种组合? 如果我们拿出k个东西,并且,我们只想算出, 有多少种组合, 如果我们从n开始,如果我们有n个东西, 并且,我们想说,从中取出k个东西, 会有多少种组合,然后我们会把这些, 算作是同一种组合, 我们真正想做的是, 我们想算出那儿有多少排列数, 我们想得到那儿的排列数, 它等于n!除以 (n-k)!, 除以(n-k)!, 并且,我们想除以那个数, 就是你可以排列这4个人的排列数, 再来一次,这个, 我记得,我第一次学的时候, 让我想了好一会儿。 如果你也一时想不清楚, 没什么关系。 一开始它会让人迷惑, 但希望,如果你不放弃思考它, 希望你会在某一时刻考虑明白。 我们想做的是,我们想除以 你可以排列4个事物的方式数, 再来一次,在排列中, 它是计算这4个事物的所有不同的排列, 但我们不想计算, 这4样事物的所有不同的排列的, 我们只想说,这些排列都是一种组合, 我们想除以 排列4个事物的方式数, 或者说排列k个事物的方式数, 让我把它写下来, 什么的方式数? 方式数, 排列, k个事物, k个事物, 在k个位置。 我鼓励你暂停这个视频, 因为这确实是一次 对第一个排列的视频的回顾。 如果你有k个位置,让我这么做, 如果这是第一位置,第二个位置, 第三个位置,然后你继续写下去, 直到第k个位置, 对于第一个位置, 可以有k种可能性, 那里有k个事物可以放在第一个位置上, 对于那些k种可能性的每一种, 有多少事物可以放在第二个位置? 它将是k-1,因为你已经放了 你已经放了一个事物在第一位置, 然后,在这儿,它将是什么? k-2 同理,直到最后的位置, 将只有一个事物可以被放在最后的位置。 这儿是什么? k乘以k-1乘以k-2, 乘以k-3, 同理,直到1。 这就等于k!. 在k个位置,排列k个事物的排列数是, k!. 在4个位置,排列4个事物的排列数, 就是4!。 排列3个事物到3个位置的排列数, 是3!。 我们能直接除以这个, 我们能除以k!。 这会使我们得到,使我们得到, n! 除以k!, k! 乘以, 乘以(n-k)!, n-k, n-k, 我会把阶乘符号放在那儿。 这儿就是那个公式, 这儿是组合的公式, 有时,它也被叫做,二项式系数。 人们通常称它为,n选k, 他们也把它写成这样, n选k,尤其是当他们 考虑到二项式的系数时, 当我开始涉及通用公式时, 我这儿有点跑题了。 让我们回到我们的例子上。 在我们的例子中,我们看到了360种方式, 排列6个人到4把椅子上, 如果我们不关心谁坐在哪把椅子上, 只是想说,“有多少种方式?” “去选择4个人,” “从6个人中” 那将是, 那将是,那儿有多少种方式, 那将是6, 多少种组合, 如果我开始时有6个人, 会有多少种组合? 会有多少种组合? 来选出4个人。 另一种思考方式是, 那儿会有多少种方式, 从6个事物中, 在这个例子中,是6个人, 选出4个事物,会有多少种方式? 那将是,我们能这么做。 我会首先应用公式, 然后,我会解释这个过程。 就像我总是说的, 我不是个热衷于记公式的人, 每次,很久之后再次用到时, 我会重新思考它,而不是去试图想起公式。 因为,当不懂实际是怎么回事时, 记忆才是一个好办法。 但如果我们只是在这里应用公式, 我真的想使你明白, 公式中到底发生了什么, 它会是6!除以4!, 除以4! 乘以(6-4)!, 6,噢,让我只是, 这是(6-4)!, 所以这部分在这儿, 6-4 让我把它写出来, 因为我知道,对于第一次看到的人, 在这里会有一些困惑。 所以(6-4)!, 阶乘,等于, 等于6!除以4!, 除以4!,乘以这儿的这个, 也就是2!,乘以2!, 将等于,我们能, 写出这个阶乘,6乘以5乘以4, 乘以3,乘以2,乘以1, 除以4。 4乘以3,乘以2,乘以1 乘以, 乘以2,乘以1 当然,那个将消去这个, 然后,乘以1并不会真正改变值, 所以让我把1消去。 让我们观察下,这个3可以约去这里的3, 这个4可以约去这里的4。 然后,它是6除以2将等于3, 所以,我们只剩下3,去乘以5, 我们剩下, 我们剩下,那儿有15种组合, 那儿有360种排列, 去把6个人排列到4把椅子上, 但只有15种组合, 因为我们不再计算, 对于相同的4个人在4把椅子上的 不同排列, 我们在说,“嘿,如果是相同的4个人,” “它现在是一种组合了。” 你可以看到,有多少种方式? 去排列4个人到4把椅子上, 它是4!,就在这儿, 4!的部分就在这儿, 它就是4乘以3,乘以2,乘以1, 就是24, 我们实际上是拿360, 除以24,得到15. 再来一次,我认为这里怎么强调都不够, 我想说清楚,这是从哪来的, 这个,在这儿, 让我圈一下, 这儿的这一片是排列数, 这真的是,所以你可以得到, 6乘以5,乘以4,乘以3, 就是我们在上面这儿做过的, 我们解释过的, 然后我们只是想除以那个方式数, 你排列4个事物到4个位置的方式数。