排列公式

我们知道假如我们有五个人 A，B，C D和E 然后我们想把他们放到 五个位置上 位置1，位置2，位置3 位置4和位置5 如果我们要数有几种情况 或者说把这五个人放到 五个座位的排列数量 我们可以说 如果我们按顺序 让这些人就坐 我们可以说，在位置1 可以有5个不同的人 然后在这每一种情况下 位置2可以坐4个不同的人 然后在这里每一种情况下 我们已经有20个情况了 5乘4等于20种情况 来安排前两个位置 那在这20个情况里的每一个情况下 多少人能坐位置3呢？ 那有3个人还没就坐 所以是3种情况 现在让前三个人就坐 有5乘4乘种情况了 那对于位置4还剩几人呢？ 两个人还没就坐 所以有两种可能 现在是5乘4乘3 乘2种情况给前四个位置 那这每一种情况下 还有多少种给第五个位置呢？ 1个 在每一种情况下，我们都只剩 一个还没就坐的人，所以只有一种可能性 排列的数量…… 让我写下来 让这五个人在五个位置 就坐的排列的数量 是5的阶乘 5的阶乘，等于5乘4 乘3乘2乘1 等于 20乘6，等于120 我们已经在上一个视频里讲过了 但是我们做一些更有趣的 或者你觉得没那么有趣 现在假设我们还是有5个人 但是没有那么多位置了 只有一部分人能就坐 假设我们只有三个位置 位置1，位置2 和位置3 五个人里只有三个人 能坐到这三个位置上 并且位置的顺序是重要的 这有多少种情况呢？ 我希望你先暂停视频想一想 估计你已经尝试过了 我们用同样的逻辑 我们就按顺序给他们安排位置 如果我们还没让任何人就坐 那有多少不同的人 能坐到位置1上呢？ 如果还没人就坐 那我们就有五个人 五个不同的人可以坐位置1 在每一个这种已经 有一个人坐了位置1的情况下 有多少人能坐到位置2呢？ 在每一个这种情况里，如果一个人已经就坐了 那就还剩四个没坐的人 所以位置2有四个人能坐 我们有5乘4种情况了 我们已经安排了位置1和2 在这20种情况里 有多少人能坐到位置3？ 我们还有三个人 没有就坐 所以在这20个情况里 我可以在位置3安排三个不同的人 所以是5乘4乘3种情况 这等于5乘4 乘3种情况 等于60 所以是60个排列 让五个人坐三个位置 每次我开始做排列的问题时 我的脑子里 就是这么想的 直接画出来 因为我不喜欢用公式 我喜欢做题的时候把 这些概念视觉化 但你可能想说，我们刚刚做了 五个不同的人坐五个不同的位置 然后我们在意谁坐了哪个位置 我们得到了5的阶乘 阶乘是这个运算法则 那我如何把阶乘和刚刚我们做的联系起来呢？ 感觉是我们在做阶乘 但是中止了 我们没有继续乘2乘1 所以我们可以这么想 刚刚我们做了5乘四乘3 乘2乘1，当然我们并没有 做成2乘1 所以你可以 除以乘2乘1 这样的话，这个乘2乘1 就和那个乘2乘1抵消了 然后剩下的就是5乘4乘3了 我这么做的目的 是现在我可以用阶乘来表示了 我可以把这写成5的阶乘 5的阶乘除以2的阶乘 除以2的阶乘 那你可能想问 这个2是哪来的？ 我有三个位置 这个2是哪来的？ 想一下 我做了5乘4乘3 这么下去一直到位置的数量 然后没有做剩下的 所以剩下的 剩下的 就是人数 减去位置的数量 我是想把5个东西放到3个东西里 5减3，等于2 所以我可以这么写 我可以写 让我用同样的颜色 我可以写5的阶乘 除以 5减3，等于2 5减3的阶乘 另一种想法是 如果我们要延伸到通用情况的话 当你在计算排列的数量时 这有很多符号可用 如果你想求 n个人坐r个位置的排列的话 或者 n个人坐r个位置的排列 这是另一个表达方式 这等于n的阶乘 除以n减r的阶乘 这里n等于5，r等于3 5减3等于2 可能你会在统计或者概率课上 别人会把这个背下来 这看着挺复杂的 现在我告诉你 我这么做的目的 就是希望你可以建立联系 当你在课本上 或者在课上 见到这个公式的时候 你知道这不是什么魔法 说实话，我个人 从来没用过这个公式 我总能直接看出来 因为如果你只背公式的话 你老是要想，这个情况这个公式能用吗？ n是什么？r是什么？ 但是如果你理解了 这就很直接了 你不需要背任何东西 不需要在没理解的情况下‘ 死记硬背 你可以用逻辑 这很重要，因为我们会遇到 不是完全符合这个公式的情况 可能会有一些细微变化 比如说，只有B 喜欢坐其中一个位置 或者其它情况？ 那你的公式就没用了 所以我喜欢这么解释 希望我刚给你展示的 可以跟你以后在课上 见到的公式联系起来