零阶乘或 0 ！

如果你在排列组合的视频中， 仔细钻研了阶乘运算的应用， 你或许注意到 一些有意思的问题， 我们来复习一下阶乘， 如果我说 n 的阶乘， 它当然就是 n 乘以 n-1 乘以 n-2 , 一直到乘以 1， 我们要让 n 递减直到得到 1， 然后我们把所有这些相乘， 比如--我们这是在复习-- 如果我们说 3的阶乘， 它就是 3 乘以 2 乘以 1， 如果我说 2 的阶乘， 它就是 2 乘以 1， 1 的 阶乘，根据这个逻辑， 我需要递减到 1， 但是这里，我甚至不需要递减了，我已经在1 上了。 所以，我只要乘以 1。 现在，0 的阶乘是什么？这很有意思。 0 的阶乘。 一个基于推理的回答就是 或许 0 的阶乘就是 0 ， 我从它开始，它已经低于 1 了， 或许它是 0， 现在，我们会看到，这不对， 数学已经决定了。 这是很有意思的，阶乘运算， 这是人发明的， 人们觉得它很有意思， 这是一个有用的标记。 人们可以定义它做什么。 数学家们发现 给 0 的阶乘其他的定义要更有用。 把 0 的阶乘定义为-- 注意了， 他们认为 0 的阶乘应该等于 1。 我知道，根据推理， 对它的概念推理， 这不成立， 但是，我们已经对排列有所接触， 我要给让你们看到这为什么是一个有用的概念， 特别是在排列组合中。 实际上，我们所见到的阶乘 绝大多数都是情况 都是在 排列组合中。 别的地方可能会用到， 但是主要是在排列组合中。 我们来复习一下。 我们如果有 n 个东西， 我们想求出有多少方式 能把它们放在 k 个空间，它就是 n 的阶乘除以 n-k 的阶乘。 现在我们可以说，我们有 n 个东西， 我们想把它们放到 n 个地方， 这应该是 n 的阶乘。 我们来做一下。 这是第一个位置，这是第二个位置， 这是第三个位置， 一直下去，你到了 第 n 个位置。 对第一个位置，有 n 个 可能的方式， 来让哪一个东西放在那里。 然后，对每一个可能性。 有 n-1 个可能的方式 让你来选择哪一个东西放在第二个位置， 因为你已经把一个东西放在那个位置了， 现在，对这 n 乘以 n-1 个可能的 放置两个东西的方式， 就有 n-2 个可能的方式 来放置东西到第三个位置。 然后一直这样做下去直到 1， 这里的这个表达式 和我们写在这里的表达式完全相同。 它等于 n 的阶乘， 但是如果我们直接用这个公式， 它就需要时 n 的阶乘 除以 n-n 的阶乘。 这样，你们会看到为什么这很有意思。 因为这就是 n 的阶乘除以 0 的阶乘。 所以，要想能用这个公式， 即便是在 k = n 的情况下， 这里就要是 1， 为了和原来的逻辑相符， 0 的阶乘要等于 1。 所以数学学会就决定 这里，我们构成的算式就叫做阶乘， 就是在某个量后面加惊叹号， 我们要理解， 我们一直向下做，直到 1， 我们一直把它们相乘， 而对于 0 ，我们只需要定义它， 我们只需要一个定义， 给它一个数学定义， 我们要说 0 的阶乘等于 1。 这相当有用。