硬币翻转概率

现在让我们开始解决一些更有趣的问题。 在概率中你会发现的一件事是 你总是可以做更有趣的问题。 现在我要开始思考，我准备投掷 一枚平整 的硬币，并且 连投三次。 然后我需要找出 在三次抛掷中至少有一次正面朝上的概率 所以思考这个问题最简单的方法 就是找出有多少种发生可能性相同的事件 在上一个视频中，我们看到当我们把硬币投掷三次的话 共有8种可能的组合方式， 因为第一次投掷时，有两种可能性。 第二次投，依旧是两种可能性。 而第三次投掷，还是两种可能性。 所以2乘以2乘以2——一共有8组等可能事件 当我们投掷三次硬币的时候。 现在来看这些等可能事件中有几组 是至少一次硬币正面朝上的呢？ 好了，我们已经把所有的可能都写在了这里 所以我们只需要数一数有几组是 至少一枚硬币正面朝上的。 OK,这是1，2，3，4，5，6，7. 所以这里面有7组，至少有一次正面朝上的， 最后一组没有一次硬币正面朝上 也就是8组里面有七组至少一次硬币正面朝上 现在你可能在想,好的,萨尔。 你解决这个问题是 通过写下全部的可能组合来实现的 但是遇到下面情况就比较难办了，比如我说 要找出20次投掷时至少有一次正面朝上的事件数目。 这个方法之所以可行，是因为我只投掷三次。 让我把它弄清晰，这些是三次投掷的。 但我们会遇到困难 或是要花费很多时间，当投掷20次的时候。 这里会有捷径吗？ 我们能否想出其他的办法？ 你不能只使用十分简单的方法， 你不能说：“哦，正面朝上的概率 乘以正面朝上的概率，因为当你在 第一次就掷出正面朝上，你就 不可能再掷出正面了。 或者说你还是可以继续掷出——当然不是说一定会掷出。 这里变得有一点复杂了， 但是这里有一种很简单的方式去考虑 在哪里可以用这种方法 你会在很多实际的考试中遇到 看似很难的题目， 但只要你用正确的方法思考，所有的 困难都会变得很容易。 算出最少有一枚正面朝上出现的概率，有一种情况有 相同的概率。 是完全相同的——等于不出现 每次都背面朝上的概率，对吗? 当我们掷出全部背面朝上的组合，我们就得到没有一次个正面朝上的了。 所以这两个事件是相等的。 三次投掷中至少有一次正面朝上的概率， 就等同于 三次投掷中没有三次全都背面朝上的概率。 所以，没有三次全都背面朝上的概率是多少呢？ 好，这将会是除以全都正面朝上 的概率， 全都背面朝上的概率。因为这是三次 投掷，这是出现背面，背面，又一次背面的概率。 因为任何其他的情况 都会有至少一次正面朝上。 这就是剩余的概率， 并且这是剩下的唯一一种可能。 如果你把两个概率加起来，就会得到1. 让我们把它们这样写下来。 让我用另一种颜色方便你 看出它来自哪里 没有全背面朝上的概率加上 全背面朝上的概率——好了，这就穷尽了 这个情况下的所有可能。 因此你得到没有全部背面朝上，或者全背面朝上 的机会——是互相排斥的。 所以我们可以把它们相加。 没有全部背面朝上的概率或者，仅仅是弄清楚我们的问题。 没有全部背面朝上或 全部背面朝上的概率将会等于1 他们相互排斥。 你或者是得到没有全背面的，这意味着 有正面朝上的硬币。 或者你得到全部背面朝上的。 但是你不能让这两件事同时发生。 而且因为他们互相排斥 当你说到他们的概率 或者这个事件，就会附加上与它互斥的事件的概率。 并且这是所有可能发生的事件。 所以从本质上讲,如果把它们结合起来 就是所有事件发生的概率。 而且说明有百分之一或百分之百的机会发生。 另一种考虑方法是， 没有全部背面朝上的概率是 1减去全部背面朝上的概率。 这就是我们在这里做的。 而所有背面的概率十分明确。 它的概率是 1/2，因为你有1/2的机会 在第一次投掷时出现背面，然后乘以—— 让我写在这里，方便看着更清楚些。 所以它的概率就是1减去全部都是背面的 概率。 你有1/2的机会在第一次投掷时 背面朝上，然后你 将不得不在第二次投掷时依旧背面朝上。 最后第三次投掷时，你仍不得不得到 又一次背面朝上的结果。 然后1/2乘以1/2乘以1/2. 结果是1/8. 把1减去1/8或者8/8/减去1/8 等于7/8. 所以我们可以把它应用到一个 更难通过写下所有可能的结果来解决的问题上。 比如我们的第一个问题。 假设投掷硬币10次，最少一次 正面朝上的 概率是——好，我们使用同样的思路。 它就等于10次投掷，没有 全部都背面朝上的概率。 所以我们只需要找出， 没有全部都背面朝上的概率。 所有 的投掷都得到背面——而不 是10次投掷中得到的背面哦。 它就等于1减去投掷10次背面朝上 的概率。 所以它是1减去10次连续的背面朝上。 然后就等于这一部分。 让我写下来。 所以它就是它。 让我重新写一下。 它等于1减去——嗯这部分等于，嗯， 一次背面朝上，另一次背面朝上。 所以它是1/2乘以1/2. 而我要把这一步骤重复10次。 让我把它写的整洁点儿。 1/2——所以这是5，6，7，8，9，还有10. 然后我们要不得不——分子是1。 所以它就等于1 它将等于1. 让我用同样的绿色算一下。 它就等于1减去——我们的分子， 你只需要把1乘以10次它自己。 所以得到了1. 然后在分母上，你需要把2乘以2得4. 4乘以2得8，16，32，64，128， 256，512，1024——除以1024。 这就等于1也就是 1024 除以1024 减去 1除以1024， 结果等于1023/1024。 这里我们有一个公分母。 所以1000——我用相同的蓝色写——除以1024. 所以当你连续投掷10次硬币——平整的硬币—— 在10次投掷中，你得到至少一次正面朝上的 概率十分高。 是1023/1024. 你可以使用计算器算出 小数形式的答案。 事实上，让我们抱着娱乐的心态来算下面的问题。 如果用1023除以1024的概率给我们——你 就有99.9%的机会 得到至少一次正面朝上。 所以当我们四舍五入。， 结果就等于99.9%的机会 而我四色五入了一点， 它实际上有点，甚至稍微高一点。 这样去想是个十分强大的工具或者说一个十分强大的方法 因为如果你想把所有的可能都写下来 大概要永远写下去了。 事实上，这个问题中有1024个组合需要被写下来 所以做这个投掷10次的练习 会占用我们全部的时间。 但当你用一另种轻巧的方式来思考时， 你会说，10次投掷中最少有 一次正面朝上的概率等于 没有全部背面朝上的概率。 而它就等于1减去 全部背面朝上的概率。 而这事实上思考起来是非常简单的。