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相依概率: 硬币

在本习题中我们思考一件事的概率是怎样与另一个事件发生的概率相依的。 Sal Khan 创建

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袋中有8个硬币 其中3个是非均匀的 投掷这3枚硬币 得到正面的概率为60% 其余的为均匀硬币 因此3个为非均匀 总共8个硬币 这就是全部的信息 意思就是 对于均匀硬币 即分别有50:50的机会 得到正面和反面 随机从袋中取出一枚硬币 投掷2次 得到2个正面的概率是多少? 这是有意思的问题 但是如果把它分解 把它画成决策树 这样能更好地分析 因此 假设 有一个袋子 3个硬币是非均匀的 因此 我们可以用一个不透明的袋子 你们不需要一直这样 因此有 均匀硬币用白色表示 因此1 2 3 4个均匀硬币 3个非均匀硬币 这些都在这里这个袋子里 这是装有硬币的袋子 我把手放进袋中 如果我取出这些白色硬币中的一个 任一次投掷 得到正面的概率都是50% 连续得到2个正面的概率是50%乘以 但是 我不知道我要取出的是白色硬币 如果我取出的是这些橙色硬币中的一个 得到正面的概率是60% 如果取出一枚这样的橙色硬币 得到2次正面的概率就是 因此 应该怎么把这种想法纳入- 如果我取出一枚白色均匀硬币或橙色非均匀硬币 我们假设这些硬币实际上不是白色或者 它们看起来都是普通硬币 因此 我要做的是 在这里画一个决策树 我们可以称它为概率树 因此 有可能取出为均匀硬币 取出为均匀硬币 也有可能 取出一枚非均匀硬币 因此 取出一枚均匀硬币的概率是多少? 额 总共8个中 有1 2 3 4 5个硬币是均匀的 因此有5/8的概率 实际上 我要把它写在这个分支上 因此取出一枚均匀硬币的概率为5/8 然后又3个 然后 每次有1 2 3次机会取出一枚非均匀硬币 因此如果只告诉你 取出一枚均匀硬币的概率是5/8 而取出一枚非均匀硬币的概率是3/8 可以把它化成小数或者百分数的形式 或者任何你想要的 现在 已知取出的是一枚均匀硬币 得到2次正面的概率是多少? 我这样写 这个只是个符号 因此得到正面 正面的概率 因此连续得到2个正面 已知取出的是一枚均匀硬币 这看起来像一个非常有趣的符号 不过只是像 看看 如果你知道 你手中的硬币一定是均匀的 那么 它得到正面的概率就有50% 那么 连续得到2次正面的概率是多少? 额 然后 我们可以说 这个等于 现在 那啥的概率是… 因此 如果你想知道 取出一枚均匀硬币 并连续得到2次正面的概率是多少 因此 已知是一枚均匀硬币的条件下 连续得到2次正面的概率是0.25 但是 取出一枚均匀硬币 并且连续得到2次正面的概率为 是5/8×0.25 因此概率 因此这整个分支 我应该这么画 这一连串的事件发生的概率 因此 从取出一枚均匀硬币开始 然后连续得到2次正面的概率等于 我这样写 等于5/8 这里这个 乘以0.25 我要说清楚 0.25是在给出一枚均匀硬币的条件下 连续得到2次正面的概率 但是 这一连串的事件发生的概率 必须把这个乘以 取出一枚均匀硬币的概率 因此 另一个考虑方法是 这是取出一枚 均匀硬币 并且连续得到2次正面的概率 对于非均匀硬币也一样 因此 概率 我还是用绿色吧 得到正面 正面的概率 硬币为非均匀的条件下 假设那是非均匀的 因此 如果你以某种方式知道硬币是非均匀的 连续得到2次正面的概率是多少? 这个非均匀硬币得到正面的概率为60% 因此 就等于0.6×0.6 等于0.36 因此 如果有一个非均匀硬币 如果硬币为非均匀的条件下 得到2次正面的概率是0.36 现在 如果你想知道 这一连串的事件的概率 取出一枚非均匀硬币 并且得到2次正面的概率 因此 取出非均匀硬币并且连续得到2次正面的概率为 取出的是非均匀硬币 应该把这个3/8乘以0.36 因此 这个就等于3/8×0.36 拿出计算器 算一下 因此 如果让5除以8乘以0.25 得到0.15625 因此 这个等于0.15625 然后 如果算一下另一部分 如果把3除以8乘以0.36 等于0.135 因此 这个等于0.135 因此 有人会问你 取出一枚均匀硬币 并且连续得到2次正面的概率是多少? 如果是均匀硬币 结果就是这个数 有人会问 取出一枚非均匀硬币 并且连续得到2次正面的概率是多少? 得到的是这个数 如果有人问 这两种情况 得到2次正面的概率是多少? 因为他们要问的是这个 得到2次正面的概率是多少? 因此 我们可以通过这个 取出均匀硬币得到的概率 或者通过这个 取出非均匀硬币得到的概率 因此 可以通过两个中的一个 可以把这两个 符合题意的事件的概率相加 因此 我们只要把这两个相加 把它们加起来 因此0.29125是等于 0.15625加上0.135等于这个 如果要把它表示成百分数的形式 只要把它乘以100 然后在这里加个百分号就可以了 因此 这个等于29.125% 或者 如果你想把它保留到百分位 那么这个就变成精确的数 或者可以说它约等于29.13% 这取决于我们要近似到哪一位 因此 这个发生的概率要稍小于1/3 而原因是 记住 一枚均匀硬币 只有 如果袋中全是均匀硬币 那么这个发生的概率就是25% 因为 你会说 好吧 它们都一样 投掷2次 概率是25% 这个概率会高一点 因为有可能 有3/8的概率 取出的硬币 得到正面的概率比50%高