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主要内容

相依概率介绍

让我们从一个有关赌场游戏的场景开始,来给你一个相关概率很好的解释。 Sal Khan 创建

视频字幕

我们想象一下在一个赌场 玩一个很奇怪的游戏 你走到一个桌子边,在桌子上面 有一个空袋子 庄家说:“我这里有一些弹子, 三个绿色的,两个橘色的,我把他们放在一个袋子里 他就把弹子放进那个空袋子里面 给你看里面真的有3个绿弹子和2个橘色弹子。 他说:”我们要玩的游戏或者说你选择玩的游戏 就是你看别的地方,把手伸进这个袋子 袋子是不透明的 感觉一下弹子,所有的弹子都是一模一样的 你能不能拿出2个绿色弹子 如果你拿出1个弹子,是绿色的话就放在桌子上 把手放进袋子 再拿一个弹子,如果这一个也是绿色 你就可以获得奖励 如果你拿两个绿弹子,你就能赢1美元 你就说:“这像是一个很好玩的游戏, 玩一次多少钱?” 那个人说35没法1次。 显然,这是个低赌注的赌场。 所以我的问题是,你愿意玩这个游戏么? 不要考虑好玩的因素 只从经济上考虑,玩这个游戏是有意义的么? 我们来考虑一下概率。 首先,你拿的第一个弹子是绿色的概率是多少? 第一个弹子是绿色的概率是多少? 我写第一 绿色 概率 第一 绿色 所有可能的结果 5个弹子是有相同可能性 所以有5种可能的结果 其中3种符合第一个是绿色的状况 因此第一个是绿色的概率是3/5. 所以你有3/5的机会 我应该说是3/5的概率 你第一次拿出弹子以后你还可以继续玩下去。 选择,我们真正关心的是你能赢这个游戏的概率。 你想要第一个是绿色,而且第二个是绿色。 让我们来想一下, 第一个是绿色的概率 我写“g”代表绿色 而且第二个是绿色。 选择,你可能想说 “哦,第二个是绿色的概率是一样的, 是3/5,我可以用3/5乘以3/5 我得到9/25 看上去很直观的事” 但事实上,你对第一个绿色弹子怎么操作。 你并没有拿出第一个绿弹子,看看,然后放回袋子里面。 因此当你拿第二次的时候,袋子里面绿弹子的数目 取决于你第一次拿出的弹子。 记住,我们拿出弹子 如果是绿色或者无论什么颜色 我们把第一次拿出来的留在桌子上了。 我们没有更新,因此没有替代的弹子。 所以他们不是独立事件。 我们说清楚,不是独立的。 特别说明,第二次拿的弹子是建立在第一次取出的基础上 建立在第一次的基础上。 如果第一次取出绿色,那么你并没有一个袋子,里面5个弹子,其中有3个绿弹子 如果第一次是绿色,你现在有一个袋子,里面有4个弹子,其中有两个绿弹子。 因此我们说的是两者都发生的概率 对,等于第一个是绿色的概率 乘以,这是个新概念,第二个是绿色的概率 条件, 这边的这条线 这条竖直线的意思是条件 条件 第一个是绿色的条件下。 现在,第一个是绿色的条件下,第二个是绿色的概率是什么呢? 我们把这个情况画在这里 如果第一个是绿色,那么有4种结果 不再是5种 其中的2种符合你的标准 2种符合标准 因此第一个是绿色而且第二个是绿色的概率 就是第一个是绿色的概率 是3/5 乘以,第一个是绿色的条件下第二个是绿色的概率 现在你袋子里面少了1个弹子并且我们假定第一个取出的是绿色 因此你只剩下2个绿弹子。 那么最后的概率是什么呢 我们看看,3/5乘以2/4 2/4就是1/2 这就等于3/5乘以1/2 等于3/10 或者我们可以写成0.30 或者我们可以说有30%的几率 当我们没有替代弹子的时候,我们可以取出2个绿色的。 现在我再问你相同的问题 你要玩这个游戏么? 如果你玩很多很多次这个游戏 平均下来,你有30%的机会 赢1美元 我们还没考虑这个 你的期望值实际上是 30%乘以1美元 这给你一些大概的说明 就是30美分 30%的概率赢1美元 平均下来,你就会 如果你玩很多很多次的话 玩这个游戏你可以获得30美分 选择你愿意给别人 35美分去获得30美分么 不,你不会去玩这个游戏的。 现在,我想让你考虑的一件事是 如果你可以替代第一次拿出的弹子的情况下 你愿意玩这个游戏么 第一次取出以后,你可以替换拿出来的绿弹子。 在那种情况下,你愿意玩游戏么?