相依概率介绍

我们想象一下在一个赌场 玩一个很奇怪的游戏 你走到一个桌子边，在桌子上面 有一个空袋子 庄家说：“我这里有一些弹子， 三个绿色的，两个橘色的，我把他们放在一个袋子里 他就把弹子放进那个空袋子里面 给你看里面真的有3个绿弹子和2个橘色弹子。 他说：”我们要玩的游戏或者说你选择玩的游戏 就是你看别的地方，把手伸进这个袋子 袋子是不透明的 感觉一下弹子，所有的弹子都是一模一样的 你能不能拿出2个绿色弹子 如果你拿出1个弹子，是绿色的话就放在桌子上 把手放进袋子 再拿一个弹子，如果这一个也是绿色 你就可以获得奖励 如果你拿两个绿弹子，你就能赢1美元 你就说：“这像是一个很好玩的游戏， 玩一次多少钱？” 那个人说35没法1次。 显然，这是个低赌注的赌场。 所以我的问题是，你愿意玩这个游戏么？ 不要考虑好玩的因素 只从经济上考虑，玩这个游戏是有意义的么？ 我们来考虑一下概率。 首先，你拿的第一个弹子是绿色的概率是多少？ 第一个弹子是绿色的概率是多少？ 我写第一 绿色 概率 第一 绿色 所有可能的结果 5个弹子是有相同可能性 所以有5种可能的结果 其中3种符合第一个是绿色的状况 因此第一个是绿色的概率是3/5. 所以你有3/5的机会 我应该说是3/5的概率 你第一次拿出弹子以后你还可以继续玩下去。 选择，我们真正关心的是你能赢这个游戏的概率。 你想要第一个是绿色，而且第二个是绿色。 让我们来想一下， 第一个是绿色的概率 我写“g”代表绿色 而且第二个是绿色。 选择，你可能想说 “哦，第二个是绿色的概率是一样的, 是3/5，我可以用3/5乘以3/5 我得到9/25 看上去很直观的事” 但事实上，你对第一个绿色弹子怎么操作。 你并没有拿出第一个绿弹子，看看，然后放回袋子里面。 因此当你拿第二次的时候，袋子里面绿弹子的数目 取决于你第一次拿出的弹子。 记住，我们拿出弹子 如果是绿色或者无论什么颜色 我们把第一次拿出来的留在桌子上了。 我们没有更新，因此没有替代的弹子。 所以他们不是独立事件。 我们说清楚，不是独立的。 特别说明，第二次拿的弹子是建立在第一次取出的基础上 建立在第一次的基础上。 如果第一次取出绿色，那么你并没有一个袋子，里面5个弹子，其中有3个绿弹子 如果第一次是绿色，你现在有一个袋子，里面有4个弹子，其中有两个绿弹子。 因此我们说的是两者都发生的概率 对，等于第一个是绿色的概率 乘以，这是个新概念，第二个是绿色的概率 条件， 这边的这条线 这条竖直线的意思是条件 条件 第一个是绿色的条件下。 现在，第一个是绿色的条件下，第二个是绿色的概率是什么呢？ 我们把这个情况画在这里 如果第一个是绿色，那么有4种结果 不再是5种 其中的2种符合你的标准 2种符合标准 因此第一个是绿色而且第二个是绿色的概率 就是第一个是绿色的概率 是3/5 乘以，第一个是绿色的条件下第二个是绿色的概率 现在你袋子里面少了1个弹子并且我们假定第一个取出的是绿色 因此你只剩下2个绿弹子。 那么最后的概率是什么呢 我们看看，3/5乘以2/4 2/4就是1/2 这就等于3/5乘以1/2 等于3/10 或者我们可以写成0.30 或者我们可以说有30%的几率 当我们没有替代弹子的时候，我们可以取出2个绿色的。 现在我再问你相同的问题 你要玩这个游戏么？ 如果你玩很多很多次这个游戏 平均下来，你有30%的机会 赢1美元 我们还没考虑这个 你的期望值实际上是 30%乘以1美元 这给你一些大概的说明 就是30美分 30%的概率赢1美元 平均下来，你就会 如果你玩很多很多次的话 玩这个游戏你可以获得30美分 选择你愿意给别人 35美分去获得30美分么 不，你不会去玩这个游戏的。 现在，我想让你考虑的一件事是 如果你可以替代第一次拿出的弹子的情况下 你愿意玩这个游戏么 第一次取出以后，你可以替换拿出来的绿弹子。 在那种情况下，你愿意玩游戏么？