蒙蒂霍尔问题

现在我们来看一个经典的概率 相关的思想实验，叫做蒙特霍尔问题 名字的来源是 蒙特霍尔是当时的节目主持人 在节目中他们会设立一个和 我们即将讨论的蒙特霍尔问题很像的场景 那现在假设在节目上 你的面前有三块幕布 你是这个长得有点像 厨子的竞赛者 面前给了你三块幕布 一号，二号和三号幕布 然后你被告知在这三个幕布的其中一个后面 有一个你非常想要的大奖 车啊，度假啊，或者说一大笔现金 然后在另外两个后面 我们不知道是哪两个，但是 后面是你不想要的东西 比如说一个宠物山羊或者鸵鸟之类的 或者说一个沙滩球 总之跟现金大奖没法比 然后你的目标是找到现金大奖 然后他们让你猜 你会选哪个呢？ 然后假设说你选了一号门 或者说一号幕布 然后蒙特霍尔的节目组的人 会想让节目更有趣点 他们想告诉你到底赢了没有 他们会给你看另外两个 幕布的其中一个后面 并且这个幕布的后面 是没有大奖的 不管你怎么选 剩下的里面肯定有一个 幕布后面不是大奖的 如果你选的是大奖的话，剩下两个都不是 但是至少会有另外一个后面 没有大奖的幕布 那他们就给你看这个 比如说他们给你看幕布三号 然后三号后面是一只羊 然后他们问你，想换到 二号幕布之后吗？ 这里的问题是，这会改变什么吗？ 到底是保持一开始 的选择好点呢？ 还是换到剩下的那个幕布好点呢？ 还是说无所谓？ 这是随机的概率，它不会随着 你换了或者没换而改变 那这就是题目 暂停视频 我希望你先想想 在下一个视频里，我们会更仔细地 分析答案，到底会不会有影响 那现在既然你已经继续了视频 我估计你是已经仔细思考过了 估计你已经有了看法 现在我们一起来看看 在任何时刻，我都希望你 能暂停视频，然后延伸一下 我讲过的东西 那我们从节目组的角度 来看看这个游戏 节目组是知道哪里 有羊哪里没有的 所以我们画一号门，二号门 和三号门 然后假设大奖在这里 并且大奖是一辆车 大奖是汽车，然后在这里是只羊 然后这里……估计我们就是 有两只羊吧 那作为节目组，我们要干什么呢？ 注意，参赛者是不知道后面的情况 但我们知道 参赛者选了这里的一号门 那我们不能打开二号门 因为后面就是汽车了 我们会打开三号门 展示后面的羊 在这个情况下 参赛者最好是改变选择 假如他选择了二号门，那我们作为节目组 可以开一号门或者三号门 然后他要是换的话 就没什么道理了 假如他选了三号门 那我们只能开一号门 因为我们不能开二号门 在这个情况下，他最好 是改变选择 那这个讲清楚了，我们 看看这两个策略的概率 假如你不换 或者说你的策略就是保持第一选择 你相信直觉 那在这个情况，你获奖的概率是多少呢 这有三个门 大奖在门后面的概率是一样的 所以这有三个情况 其中一个是你想要的情况 假如你不换的话，赢的概率是1/3 同理，你输的概率 三个里面 有两种是你输的情况 所以是2/3 这是仅有的可能性了 这两个加起来等于1 不改变选择，赢的概率是1/3 现在我们看看改变选择的情况 你在什么情况下都改变选择 我们看看这会怎么样 你赢的概率是多少 在考虑那个之前 想想如果你每次都改变选择的话会怎么赢 假如你一开始选错了 他们给你看这个 你应该换选择 假如你选了一号门 他们会给你看三号门 你应该换 假如你选择了错误的三号门 他们会给你看一号门 你应该换选择 假如你选了错的然后换，你肯定赢 让我写下来 这个想法其实是从一个参加 可汗学院夏令营的初中生提出的 是一个很棒的看法 如果你第一步选错了 你选了两个错的门的一扇 然后第二步你换选择 你会得到汽车 因为假如你选了其中一个错的门 他们只能给你看另一个错的门 如果你换选择的话 你会得到正确的门 所以你每次都换选择的赢的概率是多少呢？ 那就是你一开始选错 的概率 那你一开始选错的概率 是多少呢？ 三个里面的两个 是错的 所以你赢的概率其实是2/3 你选错了然后改成 正确的概率是2/3 同理，那你每次 都换选择输的概率是多少呢？ 你输的情况就是你 开始就选对的情况 在第二步里 他们给你看其中一个不是大奖的门 然后你会换到 另一个没奖的门 但不管怎样，你每次都会换门 所以假如你每次都换门，那唯一的输的情况 就是一开始选对了 那你一开始就 选对的概率是多少呢？ 这只有1/3 你可以看出，这有点反常理 但希望这能解释清楚 假如你维持选择的话，你赢的概率是1/3 如果你每次换门的话，赢的概率是2/3 另一种想法是 当你做一开始的选择时 得奖的概率是1/3 然后奖品在另外两扇门的 概率是2/3 然后他们会清除其中一个 所以说你基本就是在 抓住那2/3的概率 我们在这可以看出 希望你喜欢这个