生日概率问题

有人给我发了一个很有意思的问题 我想我应该把它解出来 问题是 有30个人 30个人在一个房间 这30个人是随机选的 问题是 至少有两个人是 同一天生日的概率是多少？ 这个问题挺有趣 因为 很多班级的规格就是这样的 教室里 至少有某个人 与另一个人同一天生日的概率是多少？ 这也是一种很好的说法 也就是问 某人和至少一人 同一天生日的概率是多少？ 可以和另外2个或4个同一天生日 跟某人同一天生日 这个问题一开始看起来真的很难 因为有很多情况都符合 可以是恰好两个人同一天生日 可以是恰好3人同一天生日 也可以是恰好29人同一天生日 所有的这些都符合 因此 我要把每一种情况都相加吗？ 若把它们都相加的话 就真的变得很复杂了 那么我不得不说 好吧 我和谁的生日做对比呢？ 我必须组合一下 除非把这个问题化简一下 否则这个问题真的很复杂 它的对立事件是… 我画个概率空间 假设这是所有结果 用粗一点的线画 假设这是概率空间 的所有结果 因此这是100% 我们要知道的是…我用一种 不会让人觉得讨厌的颜色吧 虽然看起来没那么好 不管怎样 假设这是那啥的概率 这里这个区域 我不知道它的真实大小 我们要把它算出来 假设这是某个人和至少一人 同一天生日的概率 这个区域是什么呢？ 绿色区域是什么？ 额 它表示 如果这些是某人和其他人 同一天生日的所有情况 这整个区域 代表没有人和别人同一天生日 或者 你可以说 所有这30个人都有不同的生日 这是我们要解的 我把它称为相同生日的概率 把它称作共享概率 s的概率 如果这整个区域是1或是100% 这里这块绿色 它等于1-P（s） 等于1-P（s） 或者 如果我们说这个是概率… 或者 我们可以这样说 实际上 这是最好的办法 如果这个是不同的 因此这个是不同生日的概率 这是30个人有 30个不同的生日的概率 没有人的生日相同 某个人与其他人生日相同的概率 加上 没有人生日相同的概率 他们都有各自的生日 它等于1 因为 不是这种情况 就是那种情况 或者可以说它们等于100% 两种说法 100%和1是一样的 等于100% 因此 如果我们知道了所有生日相同 的概率 我们可以用100减去它 因此 我们看看 我们把这个重新写一下 某个人和其他人的生日相同的概率 等于100%减去每个人的生日不同的概率 每个人的生日都不同 我这么做的原因是 就像我一开始所说的 这个有点难解 你知道的 我能解出 两个人同一天生日的概率 5个人 它就变得非常让人困惑 但是这里 如果你只是想解出 每个人的生日都不同的概率 实际上 这个概率较容易求出 因此 每个人的生日 都不相同的概率是多少呢？ 因此 我们想想 第一个人 简单起见 我们想象一下 如果屋子里只有2个人 他们的生日不同的概率是多少？ 我们看看 第一个人 他的生日可以是一年中365天中的任一天 你知道的 无论他们的生日是什么时候 然后第二个人 如果我们要确保 他们的生日不同 第二个人的生日可以是哪些天？ 额 他的生日可以是 第一人生日那天除外的每一天 因此365天中的364天 因此 如果有两个人 没有人在同一天生日的概率…这个是1 它要等于364/365 如果有3个人会怎么样呢？ 首先 第一个人可以在任一天出生 然后第二个人可以 在364天的某天出生 然后 第三个人 第三个人的生日与前面两个 生日都不同的概率是多少？ 因此 2天已经被占用了 因此概率是363/365 把它们乘出来 得到365乘以36…实际上 我应该重写一下 不写成1 我把它写成… 分子365乘以364除以365的平方 因为 我想让你们看看这个模式 这里的概率等于365乘以364乘以363除以 365的3次方 因此 总的来说 如果你持续算到30个人 如果30个人都按这个步骤算 没有人同一天生日的概率 等于365乘以364 乘以363 这里有30项 一直乘到哪呢？ 一直乘到336 实际上有30项 除以365的30次方 然后只要把这个输入计算器 输入30个数需要花点时间 然后可以得到 没有人同一天生日的概率 但是 在那样做之前 先让你们看一下 可以使它简化的方法 有没有办法可以把这个 表示成阶乘？ 或者说 可以把这个用阶乘表示出来 我们想想 365阶乘等于多少？ 365阶乘等于365乘以364乘以363乘以… 一直乘到1 只要一直乘下去 是很大的数 如果 这个地方 我只想让365乘以364 就必须把这些所有的数都除掉 我们可以做的是 可以把这个 除以这所有的数 因此363乘以362 一直到1 因此就相当于除以363！ 365！除以363！就等于这个 因为这些项都消掉了 因此这个等于365！除以363！ 除以365方 当然 这种情况下 我们不用担心阶乘 一旦项数多于2项 它会变得有用 因此 按相同的逻辑 这里这个要等于 365！除以362！除以365方 实际上 另一个很有趣的地方 365是怎么得来的？ 不好意思 我们是怎么得到363！的？ 额 365-2=363 对吧？ 这样说得通 因为上面这里只需要两项 这里我们只要两项 因此我们要除以一个数的阶乘 比它小2 这样就只剩下最高的两项 这个也等于 可以把它写成365！ 除以（365-2）！ (365-2）！=363！ 然后就只剩下那两项了 就是这样子 然后 同样的 这里这个 可以把这个分子 重新写成365！除以（365-3） 有3个人 阶乘 这个是说的通的 对吧？ 这个等于365！… 额 365减3的阶乘等于362！ 因此 它等于365乘以364乘以 363 一直到… 除以362 一直除下去 然后所有的这些会约掉 然后只剩下这个 是这里这个 因此 按相同逻辑 上面部分可以写成 365！除以什么呢？ 我这么做是为了给你们看看这种模式 因为这样做 如果你知道！键在哪的话 这些数输入计算器就更简单 因此 我们来算一下这整个概率是多少 打开计算器 我们先算分子 365！除以…额 365-30等于多少？ 等于335 乘以335！ 这是整个分子 然后把这个分子除以365 的30次方 用计算器算 得到0.2936 等于0.2936 如果四舍五入的话是37 等于29.37% 因此 你们要记住我们是怎么做的 这是没有人与别人 是同一天生日的概率 这是每个人 都有不同生日的概率 我们说 额 某人与某人同一人生日的概率 或者多于1人的概率 等于所有的概率 即100% 整个概率空间 减去 没有人同一天生日的概率 因此它等于100%-29.37% 或者可以写成另一种形式 1-0.2937 等于…如果要用1减去它 1减去…ans指的是上面的答案 意思是1-0.29 得到0.7063 因此某人和其他人同一天生日 的概率是0.7063… 约等于70.6% 是一个比较简洁的答案 因为 如果一个房间里 有30个人 你可以说 哇 某人和其他人同一天生日的概率是多少呢？ 实际上是很高的 如果房内有30个人 至少1人与至少另一个人 生日相同 有70%的概率 这是一个简洁的问题 同样 答案也很简洁 不管怎样 下个视频见