概率和组合 (2/2)

欢迎回来 我今天早些时候就已经录了这一段视频了 但是后来我发现麦克风没插好 我就不说是谁没插好了 我们回到概率计算上来 我妻子正在一旁咯咯地笑 好吧 我们做一些比之前难度稍大的题目 是一些关于抛均匀硬币实验的题目 我们先来做一道抛不均匀硬币实验的题目 假如我有一枚硬币 实际上 与其说是非均匀硬币还不如用篮球 假如在罚球中 投中几率是80% 所以当我罚球时 有8/10 或者80%的机会我会投中 也就是说20%的机会我投不中 根据以上信息 假如我 罚球5次 那么在5次投掷中至少投中3次的概率是多少？ 我们可以这样来思考 5次投掷中投中3次的 任何可能组合出现的概率是多少？ 这是什么意思呢？ 我写出其中一种可能的组合 假如这次投中 投中 投中 没投中 没投中 这是5次投中3次的一种可能 也可以是 中 不中 中 不中 中 还有很多种可能 我们要试着找出一共有多少种 那么是这种组合出现的概率是多少？ 第一次投中的机会是80% 乘以80% 这里是一个乘号 乘以80% 投不中的概率是多少？ 是20% 乘以0.2 这就等于0.8^3*0.2^2 出现这种组合的概率是多少？ 等于0.8乘以 然后没投中 没投中的机会是20% 所以乘以0.2<i>0.8</i>0.2*0.8 我们可以重新排列这些数字 因为 乘法的结果和数字的顺序无关 所以这和0.8<i>0.8</i>0.8 <i>0.2</i>0.2是一样的 也就是0.8^3 3次投中2次没投中的 所有特定组合的概率都是 那么投5次中3次的总概率是多少？ 等于所有可能组合的概率之和 我把它们都列出来 希望我们对组合的应用已经足够熟练 能够算出一共有多少种不同的组合方式 假如我们有5个篮筐 或者说投球5次 其中有3次 投到了篮筐中 这句话是什么意思呢？ 假如我投球5次 投了 1 2 3 4 5 这5次中 选择3次 又一次 现在我就能知道概率了 我在5次中选择3次 这3次是投中的 实际上 我在5次中选择了3次 5选3 它等于多少？ 等于5！除以3！*（5-3）！ 也就是2！ 等于5<i>4</i>3<i>2</i>1 比上 我们可以把所有的1忽略 我们来看一下 3<i>2</i>1和3<i>2</i>1 约掉了 1可以忽略 2和4约分 4变成2 所以一共有10种可能的组合 这是其中的两种 中 中 中 不中 不中 中 不中 中 不中 中 你知道 把剩下的8种情况都列出来对你来说是很好的练习 利用二项式系数 希望你能直观知道为什么可以这样做 如果你需要更多的讲解 我会乐于多录制几段视频 我已经录了几段 一共有10种组合方式 那么实际上 5次投球正好投中3次的概率 如果罚球投中的可能是80% 换一种颜色 5次投球投中3次的概率 等于每种组合出现的概率之和 等于0.8^3*0.2^2 投中3次 2次不中 然后乘以组合的种数 每一种组合出现的概率都是这个值 一共有10种不同的安排方式 投中3次 失败2次一共有10种不同的组合方式 所以要乘以10 它等于什么呢？ 我把计算器放到这里 那么我们来计算一下 等于0.2048 实际上是有20.48%的几率 5次投掷中3次 现在我让它更有趣一点 假如我不是求5次中3次的概率 实际上这或许是 人们更喜欢问的问题 至少投中3次的概率是多少？ 如果你思考一下的话 就会发现这个概率 等于 5次中3次的概率 加上5次中4次的概率 加上5次中5次的概率 我们已经把这一项求出来了 等于20.48% 那么5次中4次的概率是多少？ 又一次 如果我们想要投5次中4次 举个例子 不中 中 中 中 中 投中4次的每一种组合 出现的概率是多少？ 等于0.8^4乘以 投不中的概率是20% 也可以是中 不中 中 中 中 正好投中了4次 当你们把它们乘起来 任何一种组合出现的概率 等于 0.8^4*0.2 如果一共投球5次 那么投中4次 的组合方式一共有几种？ 它等于0.8^4*0.2 乘以 5选4 投中了4次 这就是组合的种数 这样就从5次中选出4次 那么5选4等于多少？ 等于5！/4！*1！ 等于5 你可以算出来 我们把它算出来 它等于0.8<i>0.8</i>0.8 写了3个0.8了 再乘以0.8 我算对了吗？ 我们来看一下 0.1 等一下 0.8*0.8 对 算对了 再乘以0.2*5 等于40.96% 所以答案是40.96% 5次投中4次的概率大概是41% 这很有趣 因为这是我的罚球命中率 这一项的概率稍微小一点 比罚球命中率的2/3 要小一点 5次投中5次的概率是多少 5次投中5次只有一种可能 5次必须都投中 等于0.8^5 我把计算器拿回来 等于0.8乘以 哦 等一下 乘以0.8<i>0.8</i>0.8*0.8等于0.3276 所以概率是32.77% 然后我们可以把它们加起来 因为我们要求至少投中3次的概率 等于 5次投中5次 加上5次投中4次 也就是0.4096 加上5次投中3次 也就是加上0.2048 等于0.94208 那么等于94.21% 这样讲得通 如果罚球投中的概率是80% 那么我站在罚球线上投球 5次中至少有3次投中的概率会很大 时间不够用啦 下次再见